Cardinal de un conjunto

    Recibe el nombre de cardinal de un conjunto el número de elementos del mismo. El cardinal del conjunto A se suele representar por N(A). Así por ejemplo, si:

    A = {a, b, c, d} N(A) = 5

    Esta definición permite introducir el concepto de conjuntos equipotentes.Dos conjuntos, A y B, se llaman equipotentes (lo que se expresa por la notación ) si se puede establecer entre ellos una correspondencia biyectiva, lo que equivale a decir que tienen igual número de elementos.

    La idea dada de equipotencia es muy clara cuando se trata de conjuntos finitos, pero no lo es tanto cuando se consideran conjuntos infinitos. Georg Cantor aclaró esta situación afirmando que un conjunto es infinito cuando es equipotente a uno de sus subconjuntos. La validez de este aserto puede comprobarse tomando el conjunto de los números naturales, N, y el subconjunto, P, formado por los naturales pares.

    Dados dos conjuntos, A y B, si se considera el conjunto intersección de ambos, se verifica que:

    Por ejemplo, si se toman los conjuntos:

    A{1, 2, 3, b}y B{2, 3, x, y, z}

    con lo que:

    {1, 2, 3, b, x, y, z}y = {2, 3}

    se tendrá que:

    N(A) = 4; N(B)= 5; N

    verificándose que:

    7 = 4 + 5 – 2

    Si se tratara de tres conjuntos:

    Problema 1. Al clasificar un grupo de 1.000 personas, trabajadores de una fábrica, atendiendo a su raza, sexo y estado civil, se obtuvieron los siguientes resultados:

    • 525 personas eran de color

    • 312 eran hombres

    • 470 eran casados

    • 42 hombres eran de color

    • 147 personas eran casadas y de color

    • 86 hombres eran casados

    • 25 hombres eran de color y casados

    ¿Resulta fiable esta estadística?

    Solución. Si se llama:

    A = Conjunto de personas de color

    B = Conjunto de las personas de sexo masculino

    C = Conjunto de las personas casadas (de ambos sexos), como:

    se tendrá que:

    = 525 + 312 + 470 – 42 – 147 – 86 + 25 = 1.057

    lo que arroja un número de personas superior al del conjunto tomado (1.000 personas). Por tanto, la estadística está mal hecha y no es fiable.

    Problema 2.En una reunión de 60 personas, 20 tenían carreras de Letras, 15 tenían titulaciones de Ciencias y 50 eran españoles. Además, 8 habían cursado carreras de Letras y Ciencias, 15 eran españoles con carrera de Letras y 18 eran españoles con carreras de Ciencias. ¿Cuántas personas eran españolas y tenían carreras de Letras y Ciencias?

    Solución. Llamando:

    A = Conjunto de personas con carreras de Letras

    B = Conjunto de personas con carreras de Ciencias

    C = Conjunto de personas de nacionalidad española, como:

    se tendrá que:

    60 = 20 + 15 + 50 – 8 – 15 – 18 +

    de donde:

    = 60 – 20 – 15 – 50 + 8 + 15 + 18

    luego:

    = 16

    Así pues, el número de personas que reunía las tres características pedidas era 16.