Leyes de composición

    Las leyes de composición pueden ser de dos clases: interna y externa. Dado un conjunto, C, recibe el nombre de ley de composición interna en dicho conjunto un criterio que asocia a dos elementos cualquiera de ese conjunto otro elemento también perteneciente al conjunto. Representando la ley genéricamente por el símbolo *, debe suceder que:

    Por ejemplo, si se considera el conjunto de los números naturales N, la suma es una ley de composición interna en ese conjunto ya que, dados dos números naturales cualquiera, su suma es también un número natural. No sucedería así con la resta o el cociente, pues la diferencia o la división de dos números naturales no siempre es un número natural.

    En definitiva, una ley interna es una aplicación del conjunto C x C (producto cartesiano del conjunto C por sí mismo) en el propio C. Es decir:

    * : C x C C

    Una ley de composición interna puede tener las siguientes propiedades:

    • Asociativa, cuando

    • Conmutativa, si

    • Existencia de elemento neutro, e, cuando

    • Existencia de elemento simétrico, si

    Las leyes de composición interna en un conjunto permiten definir cuatro estructuras algebraicas: semigrupo, semigrupo abeliano, grupo y grupo abeliano.

    Un conjunto C tiene estructura de semigrupo con respecto a una ley interna (*), cuando posee la propiedad asociativa respecto a esa ley. Si, además, tiene la propiedad conmutativa, la estructura es de semigrupo abeliano.

    Un conjunto C tiene estructura de grupo respecto a una ley interna (*) si cumple la propiedad asociativa y existen los elementos neutro y simétrico. Cuando, además, tiene la propiedad conmutativa, el grupo se dice abeliano.

    Por ejemplo, es fácil comprobar que Z (conjunto de números enteros) tiene estructura de grupo abeliano con respecto a la suma (+), ley que tendría por elemento neutro al cero y por simétrico de cada número, a, su opuesto, -a.

    Finalmente, una ley interna (*) se dice distributiva respecto a otra (T), en un conjunto C cuando se verifica lo siguiente:

    Por otra parte, dado un conjunto C y otro K, llamado de operadores, se llama ley de composición externa sobre C a todo criterio que asocia a cada elemento de K y C, un elemento de C. En definitiva, la ley externa es una aplicación de K x C en C.

    Por ejemplo, si se considera el cuerpo de los números reales, R, como sistema de operadores y el conjunto de los vectores del plano, V, el producto es una ley externa, pues: