Determinante de Vandermonde

    La forma general de un determinante de Vandermonde es la siguiente:

    Se trata, pues, de un determinante de orden n cuya primera fila tiene todos sus elementos iguales a 1, mientras que la segunda fila está formada por números reales cualesquiera. A partir de ella, las filas siguientes tienen sus elementos iguales a las potencias segunda, tercera,..., n-1 de los correspondientes elementos de dicha segunda fila.

    Así, por ejemplo, el determinante de Vandermonde de tercer orden sería:

    Para resolverlo, se restará de la segunda fila la primera, previamente multiplicada por a y también de la tercera fila la segunda, multiplicada previamente por a, con lo que se tendrá:

    = = =

    (b-a)·(c-a)· = (b-a)·(c-a)·(c-b)

    Nótese que en la igualdad anterior se ha pasado del primer determinante (tercer orden) al siguiente (segundo orden), desarrollando por los elementos de la primera columna. A continuación se ha extraído factor común en los elementos de la segunda fila y, luego, esos factores comunes, b-a y c-a,presentes, respectivamente, en la primera y segunda columna se han sacado fuera del determinante. Finalmente, se ha desarrollado el determinante de segundo orden que ha quedado.

    El método es general. Así, por ejemplo, el determinante de Vandermonde de cuarto orden:

    podría resolverse, al igual que en el caso anterior, dejando la primera fila como está, restando de la segunda la primera, previamente multiplicada por a, restando además de la tercera la segunda también multiplicada por a y de la cuarta la tercera, igualmente multiplicada por a. En resumen, se trata de dejar sin alteración cada fila y de restar a cada una de las filas restantes su inmediata anterior multiplicada por a, siendo éste el elemento a21 del determinante. De esta manera:

    = = = (b-a)·(c-a)·(d-a)·

    Este último es un determinante de Vandermonde de tercer orden por lo que, aplicando el valor visto anteriormente:

    = (b-a)·(c-a)·(d-a)·(c-b)·(d-c)

    Utilizando la regla dada, un determinante de Vandermonde de tercer orden puede resolverse directamente. Si el orden es superior, el empleo de la regla permitirá reducir su orden en una unidad, hasta llegar al de tercer orden. En general, el valor del determinante se halla restando a cada elemento todos los anteriores (al a ninguno, al b el a, al c el a y el b y al d el a, el b y el c). De forma abreviada:

    = , siendo 1 i < j n

    El determinante de Vandermonde tiene importantes aplicaciones. Se usa, por ejemplo, en la interpolación polinómica, en el procesamiento de señales, en códigos correctores de errores o en el ajuste por mínimos cuadrados.