Espacio vectorial

Dado un conjunto, C, cuyos elementos se denominan vectores y un cuerpo conmutativo, K, llamado dominio de operadores y cuyos elementos reciben el nombre de escalares, diremos que el conjunto C tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K cuando existe:

  1. Una ley de composición interna en el conjunto C, que simbolizaremos por +, tal que:

    • Es asociativa, por lo que:

    • Es conmutativa. Es decir:

    • Tiene elemento neutro, , lo que significa que:

    • Cada elemento de C posee un elemento simétrico:

En definitiva, C, respecto a la ley interna + tiene estructura de grupo abeliano.

  1. Una ley de composición externa sobre C, con K como dominio de operadores y que se representa por ·, poseedora de las siguientes propiedades:

    • Distributiva respecto a los vectores. Es decir, que:

    • Distributiva respecto a los escalares:

    • Asociativa respecto a los escalares, lo que significa que:

    • Elemento neutro. Éste es el 1, ya que:

A título de ejemplo, cabe recordar que una matriz es un conjunto de números reales distribuidos en ordenaciones horizontales (filas) y verticales (columnas). Una matriz de dimensiones m x n tiene m filas y n columnas. También es conveniente tener presente que para sumar matrices se suman los elementos homólogos y que para multiplicar una matriz por un escalar, se multiplica cada elemento de la matriz por dicho escalar.

El conjunto M, de las matrices 3 x 2, con el conjunto de los números reales, R, como dominio de operadores, tiene estructura de espacio vectorial, respecto a la suma, como ley interna, y al producto, como ley externa, ya que:

  1. Con respecto a la suma:

    • Es asociativa, puesto que:

    • Es conmutativa:

    • Tiene un elemento neutro, que sería la matriz nula de dimensiones 3 x 2

    • Cada matriz 3 x 2 tiene su elemento simétrico, el cual sería la matriz de las misma dimensiones, cuyos elementos fueron los opuestos de sus homólogos en la matriz dada. La suma de ambas matrices daría la matriz nula de dimensiones 3 x 2.

  2. Con respecto al producto:

    • Es distributiva respecto a las matrices 3 x 2, ya que:

    • Es distributiva respecto a los números reales, puesto que:

    • Es asociativa respecto a los escalares, ya que:

    • Además, y tal que:

Dependencia e independencia lineal de vectores. Dado el espacio vectorial C, sobre el cuerpo K, se dice que un conjunto de vectores son linealmente dependientes, cuando existe unos escalares , pertenecientes a K y no todos nulos, tales que:

En el caso de que para que se cumpla la igualdad anterior sea preciso que:

los vectores anteriores serían linealmente independientes.

Problema. Estudiar si en R3 (R x R x R), los vectores (1, 2, 3), (3, 4, 0) y (-1, -2, -6) son o no linealmente dependientes.

Solución. Si son linealmente independientes, deberán existir unos escalares, a, b y c, tales que:

a · (1, 2, 3) + b · (3, 4, 0) + c · (-1, -2, -6) = (0, 0, 0) (1)

Igualando componentes homólogas de ambos miembros:

a + 3b – c = 0

2a + 4b – 2c = 0

3a - 6c = 0

Resolviendo el sistema:

a = 2; b = - 3; c = 1

Luego existen escalares, no todos nulos, que cumplan (1), luego los vectores son linealmente dependientes.

Base de un espacio vectorial. Dado el espacio vectorial C sobre el cuerpo K y considerado un conjunto de vectores {u1, u2, ..., un}, se dice que éstos son una base de ese espacio vectorial, cuando:

    • Los vectores u1, u2, ..., un son linealmente independientes

    • Cualquier vector pueda ser expresado como combinación lineal de u1, u2, ..., un, lo que implica la existencia de unos escalares, , tales que:

Los escalares se llaman componentes del vector , con respecto a la base {u1, u2, ..., un}.

La base de un espacio vectorial se llama también sistema de generadores ya que, a partir de ella, por medio de las adecuadas combinaciones lineales, se puede expresar cualquier vector. Resulta interesante considerar el llamado teorema de la base, que afirma que si la base de un espacio vectorial está integrada por n vectores no puede haber más de n vectores linealmente independientes.

Subespacio vectorial. Supóngase un espacio vectorial C sobre un cuerpo Ky un subconjunto E del mismo, no vacío. Se dice que Ees un subespacio vectorial de C, cuando tiene estructura de espacio vectorial, respecto a las leyes definidas para C. Las condiciones necesarias y suficientes para que ello suceda son: