Función booleana

    Se llama álgebra booleana, o de Boole, a un conjunto C en el que se han definido dos operaciones (simbolizadas, respectivamente por ) que cumplen las siguientes condiciones:

    1. Las operaciones son conmutativas.

    2. Los elementos neutros respecto a son el 0 y el 1 y ambos pertenecen a C.

    3. Cada operación es distributiva respecto a la otra:

    Si se tiene un álgebra booleana, C,se llama función booleana a cualquier combinación de sus elementos, siempre que éstos estén en número finito, mediante las operaciones , las cuales, para mayor simplificación, se suelen sustituir por los signos + y · .

    En un circuito, una función booleana expresa la relación de dependencia existente entre unas variables de entrada y el valor de la variable de salida. Por otra parte, este tipo de funciones puede adoptar diversas formas, que van desde los enunciados que las definen, hasta su expresión algebraica.

    En general, se busca siempre convertir los requisitos de los enunciados de partida en una forma algebraica que, una vez traducida, permitirá a un conjunto de puertas lógicas diseñar el circuito que se corresponda con la función booleana que se esté considerando. En esta forma algebraica, por razones de claridad y economía, es preciso llegar a la expresión más sencilla posible, lo que se logra aplicando, además de las anteriores condiciones (1, 2, 3 y 4), las leyes de Morgan y las siguientes reglas:

    a + 0 = a a · a = a

    a + 1 = a a · = 0/

    a · 0 = 0 = a

    a · 1 = a a + a · b = a

    a + a = a a + = 1

    a + · b = a + b (a + b)· (a + c) = a + b·c

    Por otra parte, las leyes de Morgan afirman que:



    Problema. Simplificar la función booleana F = a · b + a · (b + c) + b · (b + c) y describir el circuito que la representa.

    Solución. Aplicando la propiedad distributiva:

    F = a · b + a · b + a · c + b · b + b · c

    Como, según las propiedades vistas:

    a · b + a · b = a · b y b · b = b

    la función es:

    F = a · b + b + a · c + b · c

    Pero como:

    b + b · c = b

    será:

    F = a · b + b + a · c

    Teniendo en cuenta que:

    a · b + b = b

    la función final simplificada será:

    F = b + a · c

    que equivale a una puerta “and”, con entradas a y c, lo que daría una salida de valor a · c en serie con una puerta “or”, una de cuyas entradas sería la salida de “and”, es decir a · c y otra la variable b.