Homomorfismo

    Los homomorfismos son relaciones entre estructuras algebraicas. Antes de proceder a su definición, conviene repasar algunas nociones previas.

    Como se sabe, un conjunto Ctiene estructura de grupo (C, *)con respecto a una ley de composición interna cuando presenta la propiedad asociativa respecto a esa ley y tiene elemento neutro y simétrico. Si, además, posee la propiedad conmutativa, el grupo se llama abeliano.

    Un anillo (C, *, T)es un conjunto, C, dotado de dos leyes de composición interna (* y T), tal que con respecto a la primera, Ctiene estructura de grupo abeliano y con respecto a la segunda es semigrupo. Además, la segunda ley debe ser distributiva con respecto a la primera. Si, después de esto, la segunda ley es conmutativa, el anillo se dice abeliano. Así pues, en un anillo de esta clase, se cumplen las siguientes propiedades:

    Primera ley:

    • Propiedad asociativa:

    • Propiedad conmutativa:

    • Elemento neutro:

    • Elemento simétrico:

    Segunda ley:

    • Propiedad asociativa:

    • Propiedad conmutativa :

    Distributividad de la segunda ley respecto a la primera:

    Análogamente, un cuerpo (C, *, T) es un conjunto C en el que hay definidas dos leyes internas (* y T), tales que:

    • Respecto a la primera el conjunto Ctiene estructura de grupo abeliano.

    • El conjunto C’ = C – {e}, siendo e el elemento neutro de C respecto a la primera ley tiene estructura de grupo.

    • La segunda ley, T, es distributiva respecto a la primera.

    • Si además la ley T fuese conmutativa, el cuerpo se llama abeliano.

    Sobre esta base se definen los homomorfismos como aplicaciones entre estructuras algébricas definibles del siguiente modo:

    1. Isomorfismo entre grupos. Si se consideran dos grupos (C, *) y (C’, T), un isomorfismo es una aplicación, h, entre ellos, tal que:

    h (a * b) = h(a) T h(b)

    Es decir, la imagen del resultado de combinar dos elementos de Cmediante la primera ley ha de ser igual a la combinación mediante la segunda ley de las imágenes individuales de cada uno de los elementos anteriores.

    1. Homomorfismo entre anillos. Si tenemos los dos anillos (E,*+) y (E’,T, ), un homomorfismo entre ellos es una aplicación, h, tal que:

      • h(a*b) = h(a) T h(b)

      • h(a+b) = h(a) h(b)

    Estas igualdades tienen el mismo sentido que el anteriormente explicado para los grupos.

    1. Homomorfismo entre cuerpos. Dados dos cuerpos (K,*,+) y (K’,T, ), un homomorfismo entre ellos es una aplicación, h, tal que:

      • h(a*b) = h(a) T h(b)

      • h(a+b) = h(a) h(b)

    Son igualdades análogas a las anteriores, aunque establecidas ahora entre estructuras de cuerpo.

    Algunos homomorfismos especiales son:

    • Epimorfismos: Homomorfismos en los que h es sobreyectiva.

    • Monomorfismos: Homomorfismos en los que h es inyectiva.

    • Isomorfismos: Homomorfismos en los que h es biyectiva

    • Endomorfismos: Homomorfismos en los que una misma estructura es origen e imagen.