Lógica matemática

    Proposiciones

    Una proposición es un enunciado del que se puede afirmar, sin duda alguna, la veracidad (simbolizada por V) o falsedad de su contenido (representada por F). Por ejemplo, son proposiciones “los dientes están en la boca” o “Napoleón Bonaparte fue un ilustre albañil”, pero, “como mesa agua”, “ojalá me toque la lotería” o bien “el Guernica es el mejor cuadro del mundo” no lo son.

    Como puede observarse, en los dos primeros enunciados se dispone de criterios anatómicos e históricos, respectivamente, que permiten aseverar la veracidad o falsedad de la afirmación. No sucede así con los tres últimos, ya que “como mesa agua” es una incoherencia, “ojalá me toque la lotería” expresa un simple deseo y, finalmente, la calidad del Guernica es materia opinable.

    En resumen, un conjunto de palabras forma una proposición cuando tiene sentido gramatical y cumple la llamada ley del tercio excluido. Según esta ley, debe poder afirmarse tajantemente su veracidad o falsedad, sin que puedan considerarse terceras opciones.

    Las proposiciones, que habitualmente se designan en lenguaje matemático con las letras minúsculas p, q, r, s,..., pueden ser simples (también se llaman atómicas) y compuestas (o moleculares). Las primeras corresponden a oraciones simples, mientras que las segundas se forman por unión de las anteriores. Por ejemplo, “ahora llueve” o bien “hoy es jueves” son proposiciones simples; sin embargo, “ahora llueve y mañana es jueves” es una proposición compuesta.

    Conectivas

    Reciben el nombre de conectivas las partículas que sirven para enlazar entre sí las proposiciones simples para obtener proposiciones moleculares. Por extensión, la negación de una proposición se dice también conectiva. Las conectivas quedan reflejadas en el siguiente cuadro, en el que se supondrá que p = ahora llueve y q = ayer fue jueves:

    Conectiva

    Expresión

    Símbolo

    Ejemplo

    Lectura

    Negación

    “no”

    Ahora no llueve

    Conjunción

    “y”

    Ahora llueve y ayer fue jueves

    Disyunción

    “o”

    Ahora llueve o ayer fue jueves

    Disyunción selectiva

    “o... o...”

    p q

    O ahora llueve o ayer fue jueves

    Implicación

    “si... entonces”

    Si ahora llueve, entonces ayer fue jueves

    Doble implicación

    “... si y sólo si...”

    Ahora llueve si y sólo si ayer fue jueves

    La conectiva de negación otorga los valores (verdadero, falso) contrarios a la proposición a la que se aplica. Es decir, si p es cierta, p’ será falsa y, recíprocamente, si p es falsa, entonces p’ será cierta.

    La conectiva de conjunción produce una proposición compuesta que es cierta cuando lo son cada una de las proposiciones que se unen. Así, sólo es cierta cuando p es cierta y, además, q también lo es.

    Sin embargo, la conectiva de disyunción sólo exige para su veracidad que sea cierta, al menos, una de las proposiciones que se unen. Es decir, es cierta si p lo es (aunque q sea falsa), si q es verdadera (aunque p sea falsa) y, naturalmente, si ambas proposiciones, p y q, son veraces.

    La conectiva de disyunción selectiva se presenta cuando se puede elegir entre dos opciones que no pueden ser ciertas a la vez. Tal sería el caso, por ejemplo, de “o eres mujer o eres hombre”.

    La conectiva “si... entonces...” se denomina condicional. En ella, la primera proposición que aparece se llama antecedente y la segunda consecuente y la proposición compuesta a que da lugar no es conmutativa. Por ejemplo, es cierto que “si llueve, entonces las calles están mojadas”, pero la afirmación “si las calles están mojadas, entonces llueve” no tiene por qué ser verdadera (puede que se hayan regado). Esta proposición sólo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso,

    Finalmente, la proposición “... si y sólo si ...”, llamada de doble implicación y también bicondicional, representada, por es falsa cuando p y q tomen valores contrarios.

    Tablas de verdad de las conectivas

    Expresan ordenadamente lo anteriormente dicho para estas partículas y sirven para hallar de forma sencilla los casos de veracidad y, por tanto, también los de falsedad de una proposición compuesta. Para dos proposiciones, son las siguientes:

    V

    F

    F

    V

    Tabla de verdad de la negación

    p

    q

    V

    V

    V

    V

    F

    F

    F

    V

    F

    F

    F

    F

    Tabla de verdad de la conjunción

    p

    q

    V

    V

    V

    V

    F

    V

    F

    V

    V

    F

    F

    F

    Tabla de verdad de la disyunción

    p

    q

    V

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    V

    F

    F

    F

    Tabla de verdad de la disyunción selectiva

    p

    q

    V

    V

    V

    V

    F

    F

    F

    V

    V

    F

    F

    V

    Tabla de verdad de la condicional

    p

    q

    V

    V

    V

    V

    F

    F

    F

    V

    F

    F

    F

    V

    Tabla de verdad de la bicondicional

    Si se desea construir una tabla de verdad para tres proposiciones, se deberán tener en cuenta los valores que éstas pueden tomar, que serán:

    p

    q

    r

    V

    V

    V

    V

    V

    F

    V

    F

    V

    V

    F

    F

    F

    V

    V

    F

    V

    F

    F

    F

    V

    F

    F

    F

    La estructura de la tabla anterior muestra la pauta que ha de seguirse para determinar los casos posibles, si se trata de más de tres proposiciones. Como norma general, el número de situaciones es 2n, siendo n el número de proposiciones que intervienen. Para reflejarlas, en la primera columna (a la izquierda) se coloca 2n/2 V y otras tantas F y en cada una de las siguientes se sigue el mismo ritmo, pero bajando a la mitad la frecuencia de V y F de la columna precedente.

    Por ejemplo, en la tabla anterior, como figuran 3 proposiciones, el número de posibilidades es 23 = 8. Así pues, en la primera columna se escribe cuatro V y cuatro F; en la segunda, grupos alternados de dos V y de dos F y, en la tercera, se alterna (uno y uno) V y F.

    Tabla de verdad de una proposición compuesta

    Aplicando las anteriores tablas de verdad de las conectivas, es muy sencillo analizar una proposición molecular cualquiera. Para ello, basta con:

    1. Indicar todos los valores posibles de los elementos proposicionales.

    2. Aplicar la tabla de la conectiva que proceda.

    A continuación se va a determinar, como ejemplo, la tabla de verdad de la proposición . Sería:

    p

    q

    V

    V

    F

    F

    F

    V

    F

    F

    V

    F

    F

    V

    V

    F

    F

    F

    F

    V

    V

    V

    Es decir, la proposición sólo es cierta cuando p es falsa y q también es falsa.

    El hallazgo de las tablas de verdad de las proposiciones compuestas permite clasificar éstas en tres clases: tautologías, cuando la última columna de su correspondiente tabla de verdad sólo contiene V; contradicciones, si esa última columna sólo presenta F, e indeterminadas, cuando dicha última columna presenta V y F.

    El álgebra de proposiciones se rige por unas tautologías que desempeñan un papel fundamental en la inferencia lógica. Entre ellas destacan la ya mencionada ley del tercio excluido, la ley de contradicción y la ley del silogismo.

    La ley de contradicción expresa que algo no puede ser y no ser a la vez. Por ejemplo, no se puede ser y no ser de raza blanca al mismo tiempo. Por su parte, la ley del silogismo afirma que si . De esta manera, por ejemplo, si los hombres son racionales y los racionales razonan, entonces los hombres razonan.

    ÁLGEBRA DE BOOLE DE LAS PROPOSICIONES

    El conjunto C de todas las proposiciones, con las operaciones marcadas por las conectivas de conjunción y disyunción, cumple las siguientes propiedades;

    • Idempotente, puesto que , y

    • Conmutativa, ya que , se verifica que y, además .

    • Asociativa: , se cumple que y, por otra parte .

    • Simplificativa: , siempre y, análogamente, .

    Si, además, se añade la operación de negación, (C, ) es un retículo complementario, puesto que , se cumple que p es una tautología y, por otra parte, es una contradicción. La estructura anterior cumple siempre la propiedad distributiva, ya que , se verifica que y .

    La demostración de estas propiedades es inmediata si se hallan las correspondientes tablas de verdad. Con dichas propiedades, el conjunto C, con las dos operaciones de conjunción y disyunción, es decir, (C, ), tiene estructura de retículo. La existencia de las propiedades descritas define a (C, ) como un retículo complementario y distributivo, es decir, un álgebra de Boole. En esta álgebra de Boole de las proposiciones también se cumplen las leyes de Morgan, por lo que y .