Problemas de determinantes

    Como elementos teóricos previos, debe recordarse que:

    • Si todos los elementos de una alineación (fila o columna) se multiplican por un mismo escalar, k, el determinante queda multiplicado por k.

    • Si se cambian de lugar entre sí dos alineaciones paralelas, el determinante cambia de signo, pero mantiene su valor absoluto.

    • La suma de los productos de los elementos de una alineación por los adjuntos de otra alineación paralela a ella es igual a cero.

    • En un determinante, se puede sumar a los elementos de una alineación los de otra paralela, multiplicados previamente por un escalar, sin que dicho determinante se altere.

    • Si en un determinante una alineación es igual a la suma de otras paralelas multiplicadas por escalares cualquiera, el determinante es nulo.

    • Si un determinante tiene dos líneas paralelas iguales, es nulo.

    • Al margen de reglas especiales para obtener un determinante, un método general para lograr su valor es desarrollarlo por los elementos de una línea, empleando los adjuntos de la misma, con lo que:

    = aj1 · Aj1 + aj2 · Aj2 + ...+ ajn · Ajn

    Es decir, el valor de cualquier determinante es igual a los elementos de una fila, multiplicados por sus correspondientes adjuntos. Naturalmente, este método también se puede aplicar a una columna.

    Estas propiedades son de gran valor a la hora de hallar el valor de un determinante, ya que su aplicación, generalmente, facilita mucho la tarea.

    Problema 1. Hallar el valor de:

    Solución. Sumando a la primera columna la segunda:

    Sacando factor común (a + b + c) en la primera columna:

    Con lo que el valor de este determinante, al tener dos columnas iguales (primera y tercera), es nulo. Así pues:

    = (a+b+c) · 0 = 0

    Problema 2. Hallar el valor de:

    Solución. Multiplicando la primera fila por a, la segunda por b y la tercera por c, la igualdad anterior queda en la forma:

    Sacando factor común a · b · c de la primera fila:

    Restando a la primera fila la segunda:

    Restando a la segunda fila la tercera:

    Desarrollando por los elementos de la primera columna:

    que puede escribirse como:

    Sacando factor común (a – b) y (b – c) de la primera y segunda fila, respectivamente:

    Y, desarrollando este determinante de segundo orden:

    Nota: En este problema se ha empleado un artificio de gran aplicación en el cálculo de determinantes, que consiste en hacer nulos todos los elementos de una línea menos uno, con lo que, desarrollando por los elementos de esa línea, se logra un determinante de orden igual al anterior, disminuido en una unidad. Por ejemplo, aquí se ha logrado pasar de un determinante de tercer orden a uno de segundo.

    Problema 3. Dada la ecuación:

    se pide que, teniendo en cuenta la propiedades de los determinantes, se halle la solución de la ecuación, sin desarrollar el determinante de tercer orden que aparece en ella.

    Solución. Restando a los elementos de la primera fila los de la segunda:

    Desarrollando por los elementos de la primera fila:

    = 0 (1-x)(x2 – 1) = 0 (1 – x)·(x + 1)·(x – 1) = 0

    Luego las soluciones de la ecuación son:

    1 – x = 0 x = 1 ; x + 1 = 0 x = - 1 ; x – 1 = 0 x = 1

    Es decir, la ecuación tiene la raíz x = 1 (doble) y la x = -1