Problemas de primer grado

Se contemplarán cuatro facetas de estos problemas: definición y método general de resolución, problemas de móviles, problemas de mezclas y problemas de aleaciones. Las tres últimas son muy características en este tipo de cuestiones.

I. Definición y método general de resolución.

Los problemas de primer grado son aquellos que se resuelven mediante el empleo de ecuaciones o sistemas de primer grado. En general, la técnica que se aplicará consta de tres pasos:

  1. Denominar a las magnitudes desconocidas o incógnitas mediante letras (generalmente, se elige x, y, z).

  2. Plantear una ecuación o sistema, basada en los datos del problema, que relacione éstos con las incógnitas.

  3. Resolver la ecuación o sistema obtenida en el paso anterior.

Ejemplo: Hallar tres números pares consecutivos, cuya suma sea 66.

Dado un número par, el consecutivo se obtiene sumando 2 unidades al anterior, luego, si se llama x al primero de los números buscados, éstos serán:

x ; x + 2 ; x + 4

Teniendo presente la condición impuesta por el enunciado:

Luego, los números buscados son 20 ; 20 + 2 = 22 ; 20 + 4 = 24

Ejemplo: La edad de un padre es el triple de la de su hijo, pero dentro de 20 años será solamente el doble. Hallar la edad actual de cada uno.

Según el enunciado, si la edad actual del hijo es x, la del padre será 3x. Dentro de 20 años, sus edades respectivas serán x + 20 y 3x + 20; en ese momento, se cumplirá que:

3x + 20 = 2·(x + 20)

Luego, en la actualidad, el padre tiene 3·x = 60 años y el hijo x = 20 años.

Ejemplo: Un hombre le dice a otro: “dame 5 de tus billetes y tendremos tantos el uno como el otro”. El segundo responde: “dame 10 de los tuyos y tendré el doble de los que a ti te queden”. ¿Cuántos billetes tenía cada uno?

Sean x e y el número de billetes del primero y del segundo, respectivamente. Según el enunciado:

x – 5 = y + 5

y + 10 = 2·(x-10)

Operando en ambas ecuaciones:

y = x + 10

y = 2x – 30

de donde:

Sustituyendo:

Luego el primer hombre tenía 40 billetes y el segundo 50.

  1. Problemas de móviles

Tienen por objeto estudiar los movimientos de dos o más cuerpos, considerándolos simultáneamente. En estos problemas, salvo indicación en sentido contrario, los movimientos que se contemplan son siempre rectilíneos y uniformes, por lo que se rigen por la ecuación:

e = v·t

siendo e el espacio recorrido por el móvil, v la velocidad de éste y t el tiempo invertido en recorrer el espacio. Los problemas más interesantes son aquellos en los que actúan dos móviles. Para resolverlos, basta con aplicar por separado a ambos la ecuación anterior, con lo que se obtendrá un sistema que, resuelto, proporcionará la solución. En general, hay dos tipos de problemas de móviles: de encuentro y de persecución.

2.1. Problemas de encuentro

En ellos, dos móviles, partiendo de dos puntos A y B, separados una distancia e y, con velocidades respectivas v y v’, se mueven en sentidos opuestos. Se trata de determinar en qué punto se verifica el encuentro y cuánto tiempo tarda en producirse éste.

Ejemplo: De dos puntos A y B, distantes 120 km, parten en sentidos opuestos dos móviles, con velocidades respectivas de 60 km/h y 40 km/h. Hallar la distancia desde A a la que tiene lugar el encuentro y el tiempo que tardó en realizarse.

x 120 - x

A C B

Supóngase que el encuentro se verifica en el punto C, distante x km de A y, en consecuencia, 120 – x km de B. Aplicando la ecuación fundamental:

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones:

Sustituyendo el valor de t en la primera ecuación:

Así pues, el encuentro tiene lugar a 72 km del punto A y tarda 1h 12 m en producirse.

2.2. Problemas de persecución

Aunque hay variantes, lo más habitual es que los móviles circulen en el mismo sentido y partiendo del mismo punto. Como la salida de ambos no es simultánea, cuando el segundo móvil inicia su movimiento el primero lleva ya recorrida una cierta distancia. Análogamente al caso anterior, para la resolución, basta con aplicar a ambos móviles la ecuación fundamental.

Ejemplo: De un punto A sale un automóvil a las 6 h, con velocidad de 60 km/h. Dos horas más tarde, sale en su persecución un segundo automóvil a 80 km/h. Calcular a qué hora éste alcanzará al primero y a qué distancia del punto de partida tendrá lugar el encuentro.

x

A M

Supongamos que el encuentro se realiza en M (a x km del punto A).

Resolviendo el sistema:

Sustituyendo:

Luego el encuentro se verifica 8 horas después de la salida del primer móvil. Es decir, a las 14 h y tiene lugar a 120 km del punto de partida de ambos coches.

III. Problemas de mezclas

Con frecuencia, en la práctica mercantil e industrial es necesario mezclar géneros de diversas calidades con objeto de hallar un producto más comercial. Tal sucede cuando se mezclan vinos caros con otros baratos a fin de obtener vinos de clase y precio intermedios que satisfagan más a las posibilidades de mercado. Este tipo de problemas se resuelve mediante la aplicación de la fórmula:

donde p es el precio de la mezcla; n1, n2, ..., nn las cantidades de los productos que se mezclan y p1, p2, ..., pn, los precios unitarios de dichos productos. En general, si se mezclan sólidos, las cantidades suelen medirse en kilogramos, y si se trata de líquidos, en litros. Finalmente, debe advertirse que si interviene el agua, se considera que el precio de ésta es cero.

Ejemplo: Se mezcla 30 kg de café de 10 $/kg con 83 kg de café de 6 $/kg y con 132 kg de 12 $/kg. Calcular el precio del kg de mezcla.

Aplicando la fórmula anterior:

9,72 $/kg

Naturalmente, el precio del kg de mezcla debe ser mayor que el más bajo y menor que el más alto de los precios de los componentes.

Ejemplo: ¿En qué proporción hay que mezclar vino de 20 $/litro con vino de 12 $/litro para obtener una mezcla de 15 $/litro?

Supóngase que para 100 litros de la mezcla hace falta x litros de la primera clase, con lo que de la segunda habrá que tomar 100 – x litros. Aplicando la fórmula general:

Luego el primer vino entrará en un 37,5% y, en consecuencia, el segundo intervendrá en un 62,5%.

IV. Problemas de aleaciones

Una aleación es una mezcla de metales. Las aleaciones se realizan para obtener un producto de mejores cualidades técnicas que los componentes. Es el caso de las monedas de metales finos (oro o plata), en las que éstos se alean con otros metales, que se llaman liga, a fin de evitar el desgaste de dichas monedas, las cuales, si no se hiciera esto, acabarían por desaparecer.

En una aleación, se llama ley de la misma a la razón del peso de metal fino al peso total de la mezcla. Es decir:

La ley se suele expresar en milésimas. Un lingote de oro de 1 kg de peso y de ley 0,900 contiene 0,900 kg de oro y 0,1 kg de liga. O sea, 900 g de oro y 100 g de liga.

En joyería, para el oro, se usa también el quilate (distinto del quilate empleado para brillantes). Su valor, aplicado al peso, es:

Así, por ejemplo, un lingote de 3 kg de peso y de ley 14 quilates, contiene = 1,75 kg de oro y 1,25 kg de liga.

Los problemas de aleaciones se resuelven igual que los de mezclas, sin más que cambiar en la fórmula general de resolución de estos precios por leyes.

Ejemplo: Se alean 540 g de oro puro con 150 g de oro de ley 0,800 y con 60 g de oro de ley 0,600. Hallar la ley de la aleación obtenida.

Cambiando precios por leyes en la fórmula general de las mezclas, la igualdad a aplicar será:

con lo que se tendrá que:

0,928

Obsérvese que la ley del oro puro es la unidad.

Ejemplo: Se tiene dos aleaciones de oro de leyes respectivas 0,900 y 0,650. ¿Qué cantidad habrá que tomar de cada una para obtener 600 g de una aleación de ley 0,800?

Si llamamos x a los gramos que hay que tomar de la primera aleación, de la segunda deberemos tomar 600 – x. Aplicando la fórmula general:

Luego de la primera aleación habrá que tomar 360 g y de la segunda 600 – 360 = 240 g.