Problemas de segundo grado

    Reciben el nombre de problemas de segundo grado los que pueden resolverse mediante ecuaciones o sistemas de segundo grado. Se considerarán dos aspectos: la técnica de resolución de sistemas de segundo grado y los problemas cuyo planteamiento conduce a éstos o a una simple ecuación, también de primer grado.

    Resolución de sistemas: Un sistema de segundo grado está formado por una ecuación de primer grado y otra de segundo. Tiene siempre dos soluciones. El método general para resolverlo consiste en despejar una incógnita en la ecuación de primer grado y sustituirla en la de segundo grado. Una vez resuelta ésta, por sustitución del resultado en la anterior se tendrá todas las soluciones buscadas.

    Problema 1. Resolver:

    x 2 + y2 = 10

    x – 2y = 1

    Solución. Despejando x en la ecuación de primer grado:

    x = 1 + 2y (1)

    Sustituyendo en la de segundo grado:

    (1 + 2y)2 + y2 = 10 1 + 4y2 + 4y + y2 = 10 5y2+ 4y – 9 = 0

    Una vez resuelta, esta ecuación de segundo grado proporciona las dos soluciones:

    Sustituyendo alternativamente ambas en (1) se tiene que:

    Primera solución: y = 1 x = 1 + 2·1 x = 3

    Segunda solución:

    Problema 2. Hallar las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 20 m y su superficie 24 m2.

    y

    x

    Solución. Designando por x e y, las dimensiones del rectángulo y aplicando las condiciones del enunciado:

    2 x + 2y = 20

    x·y = 24

    Despejando x en la ecuación de primer grado

    2x + 2y = 20 x + y = 10 x = 10 – y (1)

    Sustituyendo en la de segundo grado:

    (10 – y)· y = 24 10y – y2 – 24 = 0 y2-10y + 24 = 0

    Ecuación, cuya resolución proporciona:

    y = 6 ; y = 4

    Sustituyendo estas soluciones en (1):

    Primera solución: y = 6 x = 4

    Segunda solución: y = 4 x = 6

    Es decir, las dimensiones del rectángulo son 4 m y 6 m, respectivamente.

    Problema 2. Dos grifos pueden llenar una piscina en 18 horas. Hallar el tiempo que tardaría en llenarla cada uno de ellos funcionando en solitario, sabiendo que el primero tardaría 27 horas más que el segundo.

    Solución. Sean x e y los tiempos que emplearía cada uno de los grifos para llenar la piscina funcionando, respectivamente, él solo. De las condiciones del enunciado:

    x – y = 27

    Operando en la segunda ecuación:

    18(x + y) = x · y

    Despejando x en la primera ecuación:

    x = 27 + y (1)

    Sustituyendo en la de segundo grado:

    18(27+y + y) = (27 + y)·y 486 + 36 y = 27y + y2 y2 – 9y - 486 = 0

    Una vez resuelta se obtiene que:

    y = 27 horas ; y = -18 horas

    Despreciada la segunda solución (un tiempo no puede ser negativo) y sustituyendo en (1):

    x = 27 + y x = 54 horas