Aritmética
- Potenciación
- Números racionales
- Radicación
- Números complejos
- Progresiones aritméticas
- Progresiones geométricas
- Logaritmos
- Número e
Parte de las Matemáticas que se ocupa del estudio de los números. Sus principios están ligados a los albores de la Humanidad, ya que muy pronto el hombre necesitó cuantificar para fijar las dimensiones de su patrimonio. Está claro que aquel hombre prehistórico, ganadero, necesitaba saber el número de ovejas que poseía, la cantidad de pieles de que disponía, etc. De esta manera, surgieron los números naturales (N), a los que hoy día definimos como enteros y positivos y que son los que nos sirven para contar.
Aunque en un primera situación, las familias eran unidad de producción y de consumo, la división del trabajo estableció una especialización que condujo a una superproducción. De esta forma, sucedía, por ejemplo, que un determinado grupo familiar tenía exceso de leche pero carencia de pieles y otro estaba en la situación opuesta. La necesidad de conseguir aquello de lo que se carecía fue el origen del comercio, basado en un principio en el trueque.
En cualquier actividad comercial, hay unos ingresos y unas salidas. Pronto, los números naturales no bastaron para satisfacer las necesidades de cálculo que se planteaban, por lo que hubo que introducir un segundo tipo de números, los negativos, que, junto a los anteriores, formaron el conjunto de los números enteros (Z). Entre positivos y negativos, se estableció, si bien se ignora por quién, un elemento de separación: el cero.
Nuevas necesidades humanas hicieron necesario el reparto de cantidades, lo que se solucionó mediante un nuevo tipo de números, los racionales (Q).
Pitágoras y su escuela establecieron la idea de que todo era medible, pero al comparar la diagonal de un cuadrado de lado unidad con dicho lado, observaron que aquella no contenía a éste un número determinado de veces. Esos números que violaban la norma, que estaban, por lo tanto, locos, fueron llamados irracionales.
El conjunto que engloba a todos los descritos hasta ahora se denomina de los números reales ( ), aunque pronto se mostró insuficiente al no ser capaz de resolver el problema de la radicación de índice par y radicando negativo, por lo que hubo que idear otro tipo de números, los números complejos (C) basados en la existencia de una unidad imaginaria, i, tal que i2 = -1.
Con todos esos números, la aritmética define siete operaciones fundamentales: suma, resta, producto, cociente, potenciación, radicación y logaritmación.
Formulario de aritmética
Potenciación
Producto
am · an = am+n
Cociente
am : an = am-n
Potencia
(am)n = am·n
Potencia de exponente negativo
Potencia de exponente nulo
a0 = 1
Potencia de exponente fraccionario
Números racionales
Propiedad fundamental
Igualdad de fracciones
Suma de fracciones
(*)
Resta de fracciones
(*)
Producto de fracciones
Cociente de fracciones
Potencia de una fracción
Raíz de una fracción
La fracción opuesta a es -
La fracción recíproca o inversa de es
(*): Operación sólo posible cuando las fracciones tienen igual denominador.
Radicación
Definición
Propiedad fundamental
Producto de radicales
(*)
Cociente de radicales
(*)
Potencia de un radical
Raíz de un radical
(*): Operación sólo posible si los radicales tienen el mismo índice.
Números complejos
Forma binómic
Igualdad
(a + bi) = (c + di) a = c; b = d
Suma
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Resta
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Producto
(a + bi) · (c + di) = (a · c – b · d) + (a · d + b · c)i (1)
Cociente
(2)
El conjugado de (a + bi) es (a – bi)
El opuesto de (a + bi) es (-a – bi)
Forma trigonométrica
Producto
Cociente
Potencia
(Fórmula de Moivre)
Raíz
(1): Para realizarlo, se aplica la propiedad distributiva.
(2): Para efectuarlo, se multiplica numerador y denominador por la conjugada del denominador
Nota: Para hallar la potencia de un complejo en forma binómica, se aplica el desarrollo del binomio de Newton. Para hallar su raíz, se le pasa a forma trigonométrica.
Progresiones aritméticas
Término enésimo (an)
an = a1 + d · (n – 1)
(d = diferencia; a1 = primer término; n = número de términos)
Diferencia
Número de términos
Propiedad
ah + ak = a1 + an (*)
Término central (ac)
(an = último término)
Suma de los términos (S)
(*): Siendo ah y ak dos términos equidistantes de los extremos, los cuales son a1 y an, respectivamente
Progresiones geométricas
Término enésimo (an)
an = a1 · rn-1
(a1 = Primer término; r = Razón; n = Número de términos)
Razón
r =
Número de términos
Propiedad
ah · ak = a1 · an (1)
Término central (ac)
(an = último término)
Suma de los términos (S)
Producto de los términos (P):
Suma de los términos de una progresión geométrica indefinida (S):
(2)
(1): Siendo ah y ak términos equidistantes de los extremos y a1 y an dichos extremos.
(2): Siempre que r < 1
Logaritmos
Definición
logb x = y by = x
Logaritmo de 1
logb 1 = 0
Logaritmo de la base
logb b = 1
Logaritmo del producto
logb (x · y ) = logb x + logb y
Logaritmo del cociente
logb = logb x – logb y
Logaritmo de la potencia
logb xn = n · logb x
Logaritmo de la raíz
Cambio de base
Número e
Definición
Propiedad
Nota: La indeterminación que plantea el número e es .