El lenguaje algebraico

La palabra algebrista presenta una curiosa doble acepción: es el cultivador del álgebra, disciplina matemática, pero también el cirujano dedicado a componer la dislocación de huesos. Con tal sentido aparece en la segunda parte de El Quijote, donde se entiende el álgebra como «el arte de concertar los huesos desencajados y quebrados».

No obstante, la etimología del término parece clara. El vocablo álgebra proviene del árabe al-jabr, «reducción y cotejo», contenido en el título de una de las obras más célebres de un no menos afamado matemático persa del siglo IX: Al-Kitab al-jabr wal-Muqabala (Reglas de restauración y reducción), de Abú Abdalá Mohamed Ben Musa al-Jwarizmi, también conocido como Abu Yafar.

La aportación a la ciencia universal del sabio persa, miembro sobresaliente de la Casa de la Sabiduría fundada por el califato abásida en Bagdad, no se limita a haber aportado los métodos más comunes de resolución de ecuaciones algebraicas que se estudian en los cursos de enseñanza secundaria. Además de inspirar el título de esta disciplina, el nombre del autor, al-Jwarizmi, es origen de otros dos vocablos muy comunes en el mundo de las matemáticas: guarismo y algoritmo.

Conceptos y símbolos algebraicos comunes

El álgebra se entiende como la disciplina de las matemáticas relacionada con la forma y la estructura. De este modo, su objeto de estudio es la generalización de las relaciones entre cantidades numéricas, sus operaciones y las estructuras que se obtienen. Las estructuras algebraicas que se definen en este contexto constituyen la base de la lógica matemática y sirven de ayuda extraordinaria para definir modelos teóricos extensos como base para explicar fenómenos de la naturaleza.

Dentro de la descripción formal del álgebra adquiere particular importancia el concepto de conjunto. Éste se entiende, dentro de una formulación muy amplia, como una colección de objetos o entes cualesquiera. Existen algunos ejemplos obvios de asociaciones susceptibles de constituir conjuntos matemáticos: los días de la semana, los meses del año, las letras vocales, los países integrantes de la Unión Europea, etc. En la nomenclatura propia del álgebra se dice, por ejemplo, que «lunes» es un elemento del conjunto «semana» o «Francia» es un elemento del conjunto «países de la Unión Europea», al cual pertenece.

En lenguaje matemático, la pertenencia de un elemento a un conjunto se expresa mediante el símbolo . Es decir:

lunes {semana}

Francia {Unión Europea}

Como se observa en los ejemplos, la condición de conjunto se expresa con los símbolos de apertura y cierre de llave, de manera que entre ambos se escriben los elementos del conjunto separados por comas o las características que definen a éste. Por ejemplo, si se denota por A el conjunto de las letras vocales, se tiene que:

A = {a,e,i,o,u}

Ampliando la notación, la relación de no pertenencia de un elemento a un conjunto se denota por . Así, como la z no es una letra vocal, se escribe que:

z A

En aritmética hay algunos conjuntos singulares, los integrados por cantidades numéricas:

  • Los números naturales N = {1, 2, 3, 4, ...}.

  • Los números enteros Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

  • Los números racionales Q, que incluye a los anteriores más los fraccionarios, expresables en forma de fracciones.

  • Los números reales R, que contienen a los racionales más los números irracionales (como , etc.).

  • Los números complejos C, que son los reales más los imaginarios.

Tales conjuntos ayudan a comprender intuitivamente la idea de subconjunto. Ésta es una entidad matemática tal que está constituida por una serie de elementos relacionados, pero forma a la vez una estructura integrada en otra mayor que la comprende. Así, por ejemplo, N es un subconjunto de Z, está incluido en Z o, en lenguaje matemático:

N Z

El símbolo se lee «está incluido en». Por tanto, se tiene que:

N Z Q R C

Es posible definir los conjuntos matemáticos por extensión y por comprensión. La definición por extensión consiste en enumerar la relación completa de elementos del conjunto. Por ejemplo:

A = {a,e,i,o,u}

En cambio, en la definición por comprensión se indican las propiedades comunes a los elementos del conjunto, como sucede en:

A = {letras vocales}

Representación gráfica de conjuntos

Es habitual expresar los conjuntos por medio de una representación gráfica que hace posible conocer su contenido (elementos) y propiedades de un simple vistazo. La más corriente de estas representaciones es el diagrama de Venn, donde el conjunto se dibuja delimitado por una línea cerrada mientras que sus elementos se trazan como puntos marcados dentro de la superficie del conjunto. Las ilustraciones gráficas del tipo diagramas de Venn permiten visualizar rápidamente la inclusión de unos conjuntos en otros. Por ejemplo, el conjunto A de las vocales es un subconjunto del conjunto B de las letras del abecedario (v. figura 1 y figura 2).

Diagrama de Venn del conjunto de las letras vocales.

El conjunto A de las letras vocales es un subconjunto («está incluido en») del conjunto B de las letras del abecedario, como ilustra este diagrama de Venn.

Cuantificadores universal y existencial

Entre los símbolos más habituales utilizados en el lenguaje algebraico se encuentran los denominados cuantificadores universal y existencial. El cuantificador universal, denotado por , se lee «para todo» y alude a todos los elementos a los que se hace referencia. Consideremos, por ejemplo, los conjuntos de los mamíferos y de los seres vivos. La definición por comprensión de ambos conjuntos es: A = {mamíferos} y B = {seres vivos}.

Dado un elemento cualquiera de A, denotado por x (es decir, un mamífero), se verifica que:

x A x B

lo que se lee como: «para todo elemento x perteneciente a A se cumple que x pertenece a B»; esto es, todo mamífero es un ser vivo.

Por su parte, el cuantificador existencial, simbolizado por , se lee «existe algún» e indica que al menos un elemento del conjunto considerado cumple la condición a que se hace referencia. En el ejemplo de los conjuntos A y B anteriores, resulta evidente que:

lo cual se interpreta como: «existe algún elemento perteneciente a B tal que dicho elemento no pertenece a A». Es decir, existen seres vivos que no son mamíferos.

La tabla 1 recoge un compendio de algunos de los símbolos más comunes utilizados en el lenguaje algebraico. Dichos símbolos se usarán y explicarán detalladamente en los capítulos que siguen dentro de la presente sección dedicada al álgebra.

Pares ordenados

Dentro de la expresión de los conjuntos y relaciones del álgebra y la geometría analítica cobra especial relevancia la noción de par ordenado. En esencia, un par ordenado es la expresión de una relación entre dos conjuntos dados, A y B, denotada por (a, b), de tal forma que a es un elemento de A y b es un elemento perteneciente a B.

A menudo, los conjuntos A y B poseen elementos comunes, e incluso a veces son iguales. Es habitual formar pares ordenados sobre el conjunto de los números naturales, del tipo de (2, 0), (1, 5), etc. Estos pares podrían representar, por ejemplo, el resultado de un partido de fútbol donde el primer elemento del par fuera el número de goles marcados por el equipo local y el segundo, el de los anotados por el visitante. Es evidente la naturaleza «ordenada» del par: (2, 0) significa que el equipo local ha vencido por 2-0; (0, 2) indica la victoria del visitante por ese mismo resultado. Este sencillo ejemplo ayuda a entender que los pares ordenados (a, b) y (b, a) son diferentes.

En matemáticas, física y otras ciencias es muy frecuente representar los modelos y los fenómenos en ejes planos mutuamente perpendiculares llamados ejes cartesianos. Como se verá en el apartado siguiente, ésta es una aplicación ampliada del concepto de par ordenado.

Producto cartesiano de dos conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, tales que ambos contienen al menos un elemento (no son vacíos), el producto cartesiano de los mismos es un nuevo conjunto tal que está formado por todos los pares ordenados que se pueden crear tomando como primera componente del par un elemento de A y como segunda componente un elemento de B. En lenguaje algebraico, el producto cartesiano de A y B se representa por A × B y se define como:

A × B = {(a,b) / a A b B

Así, si A = {a, b, c} y B = {1, 2}, el conjunto del producto cartesiano A × B sería:

A × B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}

Es decir, si un conjunto tiene como número de elementos, o cardinal del conjunto, la cantidad p y B tiene un cardinal q, el número de elementos de A × B es p · q. Además, por el propio carácter ordenado del par, el producto cartesiano no cumple la propiedad conmutativa, es decir:

(x , y) = (x’, y’) x = x’, y = y’

Aunque pueda resultar evidente, debe recordarse que dos pares ordenados son iguales si, y sólo si, lo son sus primeras componentes y sus segundas componentes, respectivamente. En lenguaje algebraico:

A × B ≠ B × A

El contexto de las matemáticas está repleto de modelos resultantes de productos cartesianos. Por ejemplo, si se toman A y B como el conjunto de los números reales R, el producto cartesiano R × R produce como resultado el conjunto de todos los puntos de un plano.

Tabla 1. Símbolos comunes usados en el lenguaje algebraico.

Representación gráfica del producto cartesiano

En el álgebra existen varios convenios o modelos para proceder a la representación gráfica de los productos cartesianos de conjuntos. Los más utilizados se basan en el ejemplo de ejes cartesianos, diagramas en árbol, tablas de doble entrada y diagramas sagitales. Las siguientes figuras muestran ejemplos de cada uno de ellos.

Para las exposiciones que siguen se tomarán como conjuntos de ejemplo los siguientes: A = {1, 2, 3, 4} y B = (x, y, z). Entonces, su producto cartesiano está integrado por:

A × B = {(1,x),(1,y),(1,z),(2,x),(2,y),(2,z),(3,x),(3,y),(3,z),(4,x),(4,y),(4,z)}

Ejes cartesianos. La representación de un producto cartesiano mediante ejes cartesianos (v. figura 3) consiste en trazar dos ejes mutuamente perpendiculares: uno horizontal o de abscisas, donde se muestran las prime (ras componentes del par, y uno vertical o de ordenadas, que permite anotar las segundas componentes. La intersección de las líneas trazadas en paralelo a estos ejes proporciona el valor del par ordenado en el eje cartesiano. Esta representación es muy habitual.    

Representación de un producto cartesiano mediante ejes cartesianos.

Diagramas en árbol. Esta representación, más prolija que la anterior, se basa en la división dicotómica de las componentes del par (v. figura 4).

El producto A × B expresado en diagrama de árbol.

Tablas de doble entrada. La representación de un producto cartesiano en forma de tabla es útil y ofrece de un modo sintético y visualmente claro la formación de sus pares ordenados. Para el ejemplo desarrollado, esta tabla se escribiría como se ve en la tabla 2.

Tabla 2. Tabla de doble entrada de un producto cartesiano.

Diagramas sagitales. En esta representación se recurre al modelo gráfico de los diagramas de Venn. Es un tipo muy común en la expresión visual de las correspondencias, aplicaciones y funciones. En el ejemplo anterior, la representación del producto cartesiano A × B mediante diagramas sagitales o de flechas se muestra en la figura 5.

Representación de productos cartesianos mediante diagramas sagitales.