Matrices de números reales

    En 2005 el sudoku, un juego originario de Suiza y recreado en Japón, alcanzó una extraordinaria difusión internacional y empezó a alimentar las páginas de pasatiempos de periódicos y revistas de todo el mundo. Este entretenimiento consiste en rellenar con las cifras del 1 al 9 nueve cuadrados de nueve números dispuestos en nueve columnas y nueve filas de manera que en cada cuadrado, fila y columna no se repita ningún número.

    La base del sudoku es un artificio matemático conocido desde muy antiguo por el nombre de cuadrado latino. Los cuadrados latinos del sudoku son matrices de tres filas y tres columnas que se rellenan con números que no se repiten en cada fila y en cada columna. Este pasatiempo recuerda a otro de índole puramente matemática denominado cuadrado mágico: una matriz de tres filas por tres columnas en cuyas intersecciones se escriben, sin repetirse, los números del 1 al 9. En este caso, el objetivo es conseguir que los números de cada fila y de cada columna sumen, todos, 15. Todo esto se muestra en la tabla 1.

    Tabla 1. Los cuadrados mágicos, como el de la figura, constituyen una forma especial de matriz de números reales.

    Definición y tipos de matrices

    El álgebra de matrices es una rama de las matemáticas de gran utilidad en numerosos modelos y exposiciones de las ciencias teóricas. En esencia, una matriz es un conjunto de números ordenados en una tabla de filas y columnas. Cuando una matriz posee m filas y n columnas, se dice que su orden es m × n. Dicha matriz, expresada genéricamente como

    mn, se escribe del modo siguiente:

    Cada elemento de la matriz, que se indica por a, es un número real, es decir aij R, con 1 < i < m y 1 < j < n. En el caso particular de que m = n, la matriz resultante tendrá la misma cantidad de filas y de columnas, por lo que recibe el nombre de matriz cuadrada. Este tipo de matrices, como se verá, posee un interés especial para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

    La utilidad del cálculo matricial se extiende a numerosos campos de la ciencia y la tecnología. Además de su utilización dentro de las propias matemáticas, encuentran un empleo extenso en física, informática, economía, electrónica, etc. Básicamente, todo estudio de un problema por medio de tablas organizadas en filas y columnas puede plantearse como un ejemplo de la teoría de matrices.

    Tipos especiales de matrices

    Dentro de los modelos algebraicos y geométricos comunes usados en matemáticas, se manejan de manera cotidiana varias clases particulares de matrices. En un primer grupo pueden encuadrarse las matrices nula, en las que todos los elementos son cero; fila, que tiene una única fila con varias columnas, y columna, provista de varias filas en una sola columna (v. figura 1).

    Matrices nula, fila y columna.

    Otras matrices singulares son las llamadas triangular y diagonal. Ambas son matrices cuadradas, en la triangular, todos los números situados por encima (o por debajo) de la diagonal principal son nulos. Por su parte, en una matriz diagonal todos los elementos son nulos excepto los que se encuentran en la diagonal principal de la matriz (v. figura 2).

    En las matrices triangular superiores son nulos todos los elementos situados por encima de la diagonal principal; en las triangulares inferiores, lo son los colocados por debajo de esta diagonal. En las matrices diagonales, los únicos elementos no nulos son los de la diagonal principal.

    Matrices traspuesta y simétrica

    Dada una matriz cualquiera mn, de orden m × n, su matriz traspuesta es la que se obtiene al permutar las filas y las columnas. Es decir, será una matriz de orden n × m que se denota por T. Sea, por ejemplo, la siguiente matriz de orden 3 × 4:

    Su matriz traspuesta, de orden 4 × 3, será la obtenida al cambiar filas y columnas:

    Se denomina matriz simétrica a aquélla en la que los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son iguales, con lo que, en este tipo de matrices, aij = aji. Toda matriz simétrica es cuadrada y coincide con su traspuesta.

    Operaciones con matrices

    El cálculo matricial se basa en el empleo de operaciones de suma, producto y simplificación. Esta última se basa preferentemente en el uso de determinantes, cuya definición y propiedades se analizarán en el apartado siguiente, para facilitar las operaciones.

    La suma sólo puede efectuarse entre matrices del mismo orden. De este modo, dadas dos matrices y B, ambas de orden m × n, la matriz suma + B es aquella que se obtiene sumando dos a dos los elementos de igual fila y columna de las matrices originales. En escritura extensa, dadas y B siguientes:

    y

    la suma de ambas será:

    La estructura algebraica del conjunto de las matrices de orden m × n respecto a la suma verifica las propiedades asociativa, conmutativa y de existencia de elemento neutro, que es la matriz nula, y de elemento simétrico o matriz opuesta, que es la que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de una matriz dada.

    En la suma de matrices se da una propiedad interesante: la traspuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas de las originales. Es decir:

    ( + B)T = AT + BT

    Producto de un número real por una matriz. Al multiplicar un valor numérico por una matriz se obtiene una nueva matriz cuyos elementos son los de la matriz original multiplicados por dicho número:

    Por ejemplo:

    Producto de matrices. La multiplicación o producto entre dos matrices sólo puede realizarse cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda. Así, si una matriz tiene por orden m × n, para que pueda multiplicarse por otra B, ésta debe tener un orden de n × p. El orden de la matriz C resultante será m × p.

    Sean las matrices mn y Bnp expresadas genéricamente como:

    y

    Su producto es otra matriz C de orden m × p que se representa por:

    Por tanto, la matriz producto de dos matrices dadas tiene las mismas filas que la primera matriz del producto y las mismas columnas que la segunda matriz. El valor de cada uno de los elementos de la matriz producto C se calcula del modo siguiente: se toma el número de fila y de columna que ocupa el elemento en la matriz y se calcula la suma algebraica, ordenadamente, del producto de cada elemento de la fila de igual número de la primera matriz por cada elemento de la columna de igual número de la segunda matriz. Es decir:

    Sean, por ejemplo, las matrices y B siguientes:

    El resultado será una matriz C de orden 2 × 2:

    Para calcular, por ejemplo, el valor de c12 se multiplicarán los valores de la fila 1 de por los de la columna 2 y se sumarán del modo siguiente:

    c12= 2 · 1 + (-3) · (-1) + 0 · 0 = 2 + 3 + 0 = 5

    Efectuando el mismo cálculo para los restantes elementos de C, se tiene que la matriz producto es:

    Determinantes

    Los determinantes son entidades matemáticas asociadas a las matrices cuadradas a las que se asigna un valor numérico que se determina por la aplicación de ciertas reglas. Por ejemplo, dada una matriz:

    puede definirse su determinante asociado, que se denota por:

    y cuyo valor numérico, según las reglas que se explicarán a continuación, es | | = 5 · 8 – (–3) · 2 = 40 + 6 = 46.

    Por definición, el determinante de una matriz cuadrada es el número que se obtiene al sumar algebraicamente todos los productos que se pueden formar tomando un elemento de cada fila y uno de cada columna de la matriz. El signo de cada uno de estos productos de la suma algebraica será positivo o negativo dependiendo de un concepto denominado número de inversiones.

    Para comprender la idea de número de inversiones es preciso entender antes el de permutación principal, que es la ordenación creciente de los primeros n números naturales: (1, 2, 3, 4, ..., n). Para simplificar la explicación, se tomará la secuencia de los tres primeros: 1, 2, 3. En este caso:

    • (1, 2, 3) es la permutación principal que, por convenio, se considera permutación par.

    • Cada vez que se altera el orden de esta secuencia tiene lugar una inversión. Por ejemplo, (1, 3, 2) y (2, 1, 3) son permutaciones con inversiones.

    • Cuando una permutación presenta un número impar de inversiones, se dice que es impar. Por ejemplo, en la serie (1, 3, 2) se han permutado el 3 y el 2, es decir, ha habido una única inversión. Por ello, la permutación es impar.

    • Si el número de inversiones es par (dos inversiones, cuatro, seis, etc.), la permutación resultante se considera par. Por ejemplo, en (3, 1, 2) se han producido dos inversiones: primero se permutaron el 2 y el 3, pasando de (1, 2, 3) a (1, 3, 2); después se cambiaron el 1 y el 3, para dar (3, 1, 2). De lo anterior se desprende que la permutación (3, 2, 1) es impar, pues corresponde a tres inversiones, y así sucesivamente.

    Aceptando esta descripción del número de inversiones, se puede completar la definición de determinante propuesta diciendo que es el número que se obtiene al sumar algebraicamente todos los productos que pueden formarse tomando un elemento de cada fila y uno de cada columna, donde cada término de la suma algebraica tiene signo positivo si la permutación que forman los subíndices de los elementos que forman dicho término es par y negativo si la permutación es impar.

    En lenguaje algebraico, la anterior definición se expresa del modo siguiente:

    siendo dj (a ij) el adjunto de a ij. El concepto de adjunto se explica posteriormente.

    Esta expresión sirve de regla general para el cálculo de determinantes. Los casos más sencillos, que se verán seguidamente, corresponden a determinantes de segundo y de tercer orden.

    Determinantes de segundo y tercer orden

    Un determinante de segundo orden es el asociado a una matriz cuadrada de orden 2 × 2. Para calcular su valor se aplica una regla muy sencilla:

    Es decir, el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Un ejemplo de resolución de un determinante de segundo orden sería:

    Los determinantes de tercer orden se asocian a matrices cuadradas de orden 3 × 3 y se resuelven por medio de la regla siguiente:

    La sucesión de términos de esta suma algebraica es mucho más fácil de recordar aplicando la denominada regla de Sarrus (v. figura 3): 

    • Son positivos los productos de los términos de la diagonal principal y los formados por cada una de las líneas paralelas a ésta y el vértice opuesto.

    • Son negativos los productos de los términos de la diagonal secundaria y los formados por las líneas paralelas a ésta y el vértice opuesto.

    Aplicando la regla de Sarrus, se propone a continuación un ejemplo de resolución de un determinante:

    Propiedades de los determinantes

    A partir de la definición de determinante y de las consideraciones relativas al cálculo matricial es posible proponer varias propiedades útiles. Dichas propiedades son las siguientes:

    1. El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta, la que resulta de cambiar filas por columnas: .

    2. Un determinante en el que dos filas o dos columnas son iguales tiene por valor 0.

    3. Un determinante en el que dos filas o dos columnas son proporcionales entre sí (los valores de una son múltiplos respectivamente de los de la otra) tiene por valor 0.

    4. Si todos los elementos de una fila o una columna son nulos, el determinante vale 0.

    5. La multiplicación de un número por un determinante equivale a multiplicar por dicho número una de sus filas o una de sus columnas.

    6. Cuando a los elementos de una fila (o una columna) se les suman los de otra fila (o columna) multiplicados por un cierto número, el valor del determinante no varía.

    Ilustración gráfica de la regla de Sarrus para el cálculo de determinantes de orden 3. Arriba, los términos positivos de la suma algebraica de productos; abajo, los términos negativos.

    Las propiedades enumeradas son extraordinariamente útiles para la simplificación del cálculo de determinantes. Así se apreciará en los apartados siguientes, dedicados al desarrollo de un determinante por los elementos de una columna o de una fila.

    Menor complementario y adjunto

    En los apartados precedentes se han expuesto las reglas para el cálculo de determinantes de orden 2 y 3. Cuando el determinante tiene un orden superior a 3, la aplicación directa de su definición resulta altamente compleja, por lo que es corriente recurrir a técnicas adicionales. Estas técnicas consisten en desarrollar el determinante a partir de sus filas o de sus columnas y se basan en dos conceptos denominados menor complementario y adjunto de un elemento.

    El menor complementario de un elemento es el determinante que se obtiene al suprimir la fila y la columna a la que pertenece dicho elemento. Dado el determinante de orden cuarto siguiente:

    el menor complementario, por ejemplo, del elemento a32 sería el determinante obtenido de suprimir la fila 3 y la columna 2:

    El valor del menor complementario de a32 resultante podría calcularse aplicando simplemente la regla de Sarrus. Sería posible así obtener el menor complementario de los restantes elementos del determinante original.

    Vinculado a lo anterior, el adjunto de un elemento de un determinante se define como el valor de su menor complementario multiplicado por (–1) elevado a la suma de los subíndices de dicho elemento. En el ejemplo anterior, el adjunto del elemento a32vendría dado por:

    La definición del adjunto de un elemento permite resolver los determinantes desde una nueva perspectiva: el valor de un determinante es igual a la suma algebraica del producto de cada uno de los elementos de una de sus filas (o de sus columnas) por su adjunto respectivo. Considerando el caso de un determinante de tercer orden, se obtendría que:

    Desarrollando estos adjuntos, es fácil comprobar que se obtiene el mismo resultado que mediante la aplicación directa de la regla de Sarrus.

    Determinantes de orden mayor que 3. Mediante una técnica de aplicación de los adjuntos de sus elementos se pueden resolver con mayor facilidad determinantes de orden superior a 3. El truco consiste en aplicar las propiedades generales para transformar el determinante dado en otro equivalente en el que todos los elementos de una fila (o de una columna), salvo uno, sean nulos.

    Para aplicar esta técnica se necesitan ciertas dosis de imaginación. Consideremos, por ejemplo, el determinante siguiente de orden cuarto:

    Lo primero que ha de hacerse es elegir la fila o columna que se quiere reducir a ceros (se elige en este caso la tercera columna). Sumando, en primer lugar, a la tercera fila el valor de la cuarta, se obtiene:

    Después, a la cuarta fila se le suma la primera multiplicada por 2:

    El determinante obtenido se puede desarrollar fácilmente por los adjuntos de sus elementos de la tercera columna. Como a13 =1, el desarrollo queda como:

    Se obtiene así el determinante siguiente, que puede desarrollarse ya por la regla de Sarrus.

    Rango de una matriz

    El uso de determinantes tiene diversas aplicaciones dentro de las matemáticas. Una de las más socorridas es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que se verá más adelante. Otra es la definición del concepto de rango de una matriz, de notable interés en álgebra lineal.

    Para aprender el significado de rango es preciso definir antes el concepto de menor de una matriz. De este modo, el menor de una matriz de orden m × n es el valor del determinante que se forma tomando i filas e icolumnas adyacentes dentro de la misma. Sea la matriz:

    Un menor de dicha matriz podría ser:

    El rango de una matriz se define entonces como el orden del mayor menor que pueda formarse en la misma cuyo determinante no sea nulo.

    Matrices adjunta e inversa

    Un concepto útil en el cálculo matricial y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales es el de matriz adjunta. Se define como la matriz formada al sustituir cada elemento de la matriz original por el adjunto de dicho elemento. Por tanto, dada una matriz descrita, por ejemplo, por:

    su matriz adjunta se define como la formada sustituyendo cada elemento de la matriz por su adjunto:

    Basándose en la definición anterior, puede ofrecerse una descripción del concepto de matriz inversa. Para que exista la inversa de una matriz dada es imperativo que ésta sea cuadrada y que su determinante no se anule. Entonces, la matriz inversa es el cociente entre la matriz adjunta de su traspuesta y el determinante de dicha matriz. En lenguaje algebraico:

    La matriz inversa es el elemento simétrico del producto de matrices, por lo cual se verifica que:

    Sistemas de ecuaciones lineales

    Una de las aplicaciones directas del cálculo de matrices es la resolución de sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Un sistema semejante puede escribirse, de modo general, como:

    donde aij, con 1 < i < n y 1 < j < n, son los coeficientes de la ecuación y x1, x2, ..., xn, las variables o incógnitas. Los coeficientes se pueden escribir resumidamente en forma de una matriz cuadrada, del modo siguiente:

    Si se incluyen además los términos independientes b1, b2, ..., bn, se forma la matriz ampliada del sistema, que se representa como:

    De este modo, el sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial:

    Este sistema tendrá solución única cuando el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero, es decir, |M|≠ 0. En caso contrario, alguna de las ecuaciones será linealmente dependiente de las demás, podrá obtenerse como una combinación lineal de las restantes y, por tanto, será redundante con las mismas. En tal caso, habría más incógnitas que ecuaciones representativas. También si |M|= 0, el sistema puede ser incompatible.

    Regla de Cramer

    Un sistema de ecuaciones lineales expresado en forma matricial tal que el determinante de la matriz de sus coeficientes es no nulo puede resolverse directamente aplicando un artificio conocido como regla de Cramer. Según esta regla, la solución de la incógnita i del sistema (con 1 < i < n) se obtendrá sustituyendo la columna i de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes, calculando el determinante de esta matriz y dividiéndolo por el valor del determinante de la matriz de los coeficientes.

    La aplicación de la regla de Cramer se apreciará mejor con un ejemplo. Sea el sistema:

    2x + y = 5

    3x – 2y = 9

    donde, por razones de sencillez, se prefiere sustituir x1 por x y x2 por y.

    La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son:

    El determinante de la matriz de los coeficientes |M| es:

    La solución de x se obtiene sustituyendo la primera columna por la de los términos independientes que figura a la derecha en la matriz ampliada, de manera que:

    Análogamente, para calcular y se sustituye la segunda columna de la matriz:

    Teorema de Rouché-Fröbenius. El análisis de la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas permite un estudio exhaustivo a priori de sus características. En este análisis es esencial el manejo de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada. El teorema de Rouché-Fröbenius resume sintéticamente dicho análisis:

    1. Si el rango de la matriz ampliada es distinto que el de la matriz de los coeficientes, el sistema es incompatible, no tiene solución.

    1. Cuando ambos rangos son iguales, el sistema es compatible y puede resolverse. Pueden darse entonces dos casos:

    1. Si el rango de ambas matrices es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado y su solución es única.

    2. Cuando el número de incógnitas es superior al rango de las dos matrices, el sistema tendrá infinitas soluciones y se dice compatible indeterminado.

    La regla de Cramer se aplica únicamente a los sistemas compatibles, ya tengan solución única (determinados) o infinitas soluciones (indeterminados).