Análisis dimensional

    Uno de los pasatiempos predilectos de los físicos consiste en sentarse a tomar un café y garabatear sobre un papel improvisado las ideas más peregrinas o sorprendentes que se les ocurren. Esta práctica, que algunos han llamado «cálculos de la servilleta», pretende bucear en un mar de números y fórmulas matemáticas para descubrir relaciones ocultas entre las magnitudes y los fenómenos de la naturaleza, escudriñar secretos que hasta entonces habían pasado inadvertidos.

    Científicos tan reputados como Enrico Fermi, impulsor del desarrollo del primer reactor nuclear, o Paul Dirac, uno de los «padres» de la mecánica cuántica, cultivaron con denuedo esta gimnasia tan recomendable. A menor escala, el análisis dimensional persigue un objetivo semejante: expresar las magnitudes físicas en un lenguaje simbólico que permita ahondar en su significado y establecer entre ellas relaciones, a menudo no tan aparentes, de un primer vistazo.

    Concepto de dimensión

    La dimensión de una magnitud física puede definirse como la combinación del conjunto de las unidades que la forman. En términos generales, la mayoría de las magnitudes físicas pueden reducirse simplemente a una combinación de otras cinco, que reciben la denominación de básicas o fundamentales: la longitud, la masa, el tiempo, la intensidad de corriente eléctrica y la temperatura (v. tabla 1).

    En un lenguaje simbólico, las dimensiones de cada una de estas magnitudes básicas se denota con los signos [L], [M], [T], [I] y [θ], respectivamente. De este modo, una dimensión física se puede escribir como una combinación algebraica de estas tres dimensiones primarias, por medio de la siguiente expresión general:

    [X] = [La Mb Tc Id θe]

    siendo X una magnitud que tiene como dimensión física [X] y a, b, c, d, e los exponentes específicos de cada dimensión fundamental. Los exponentes pueden ser números enteros (positivos, negativos o nulos) y, también, números racionales.

    Según esta notación, la dimensión de una superficie es longitud por longitud, es decir, [L2]; la del volumen, [L3]; la de la velocidad, longitud dividido por tiempo, [LT –1], y así sucesivamente (no hay que olvidar que los exponentes negativos corresponden a magnitudes que van en el denominador). Este procedimiento servirá para obtener las dimensiones de cualquier magnitud física, por compleja que sea.

    Ecuaciones dimensionales

    El análisis dimensional es una disciplina científica que se encarga del estudio sistemático de las dimensiones físicas utilizando como base las ecuaciones dimensionales. Estas ecuaciones se definen como expresiones algebraicas que permiten valorar la validez de una fórmula comprobando la coherencia de las dimensiones de las magnitudes que intervienen en ella.

    Considérese, por ejemplo, la ecuación de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

    v = v0 + a · t

    siendo v la velocidad del cuerpo, v0 su velocidad inicial, a la aceleración y t el tiempo.

    Tabla 1. Dimensiones básicas del análisis dimensional.

    El primer miembro de la fórmula es una velocidad, es decir, un espacio recorrido en la unidad de tiempo (espacio dividido por tiempo). En términos de dimensiones básicas, la velocidad se expresaría como:

    v = [LT–1]

    El segundo miembro de la ecuación tiene como primer término una velocidad v0, equivalente dimensionalmente a v, más un segundo término que es igual al producto de una aceleración por un tiempo. Sus valores dimensionales serían, por tanto:

    a · t = [LT–2][T] = [LT–1]

    En este caso se dice que la ecuación analizada es homogénea o dimensionalmente correcta, pues los dos miembros se expresan mediante la misma combinación de dimensiones básicas.

    Un ejemplo de la utilidad que puede asociarse al análisis dimensional se obtiene comparando las dimensiones de las definiciones de energía cinética de un cuerpo y trabajo. La energía cinética de un cuerpo en movimiento es igual al semiproducto de la masa m que tiene el cuerpo por su velocidad v elevada al cuadrado:

    Dimensionalmente, sabiendo que los números son adimensionales (carecen de dimensión), se tiene que las dimensiones de la energía cinética son:

    [Ec] = [M][L2T–2] = [ML2T–2]

    Por otra parte, el trabajo W se define como el producto de una fuerza F por el recorrido que ésta realiza s, es decir:

    W = F · s

    Según la segunda ley de Newton del movimiento, la fuerza es el producto de la masa mpor la aceleración a, con lo que la ecuación dimensional del trabajo se expresa como:

    [W] = [F][s] = [ma][s] = [MLT–2][L] = [ML2T–2]

    Como puede verse, la expresión dimensional de la energía cinética y del trabajo son exactamente iguales. Así se constata que estas dos magnitudes son manifestaciones diferentes de una misma entidad física básica, la energía.

    En un sentido estricto, se dice que una ecuación es dimensionalmente homogénea si todos sus términos poseen las mismas dimensiones físicas. Es evidente que el cumplimiento de los criterios dimensionales no implica que la ecuación analizada sea correcta, ya que podría ser necesario incluir el valor de alguna constante (sin dimensiones) o de expresiones matemáticas como podrían ser las funciones trigonométricas (seno, coseno, etc.) o logarítmicas. Lo que garantiza el análisis dimensional de las ecuaciones es que una fórmula o expresión que no sea homogénea desde el punto de vista de sus dimensiones físicas es necesariamente incorrecta (v. tabla 2).

    Aplicaciones del análisis dimensional

    La aplicación más evidente del análisis dimensional, según se ha expuesto, es la detección de errores de cálculo, concepto o planteamiento en las expresiones matemáticas de la física. Una ecuación no homogénea desde el punto de vista de sus dimensiones físicas es obligadamente errónea.

    No obstante, el análisis dimensional se ha utilizado en otros ámbitos de aplicación de diverso contenido. Algunos de ellos se refieren a:

    • La deducción de la estructura principal de fórmulas con vistas a explicar ciertos fenómenos físicos.

    • La obtención de las denominadas leyes de escala, que permiten estimar el modo en que el cambio de la longitud en un determinado problema influye en las alteraciones de otras magnitudes que intervienen en el mismo (masa, fuerza, peso, etc.).

    Tabla 2. Algunos ejemplos de magnitudes adimensionales (sin dimensión física).

    • La resolución de problemas que, con otro planteamiento, presentarían grandes dificultades matemáticas, en ocasiones insalvables.

    • El estudio de modelos y sistemas reducidos (así se plantearon, por ejemplo, muchos de los modelos de los túneles aerodinámicos).

    Órdenes de magnitud

    Como cierre del bloque de capítulos dedicados a analizar los conceptos de sistemas de medidas, magnitudes, unidades y dimensiones, se ofrecen algunas comparaciones que permiten encuadrar los valores de longitudes, masas y tiempos que son relativamente comunes dentro del Universo.

    Para facilitar estas comparaciones conviene recurrir a un concepto que se conoce como orden de magnitud. Este concepto se basa en la notación científica en potencias de 10 de manera que, por ejemplo, 10.000 se expresa como 104; 1.000 como 103; 100 como 102; 10 como 101; 1 como 100; 0,1 como 10–1, y así sucesivamente. Se dice entonces que dos cantidades se diferencian en 1 orden de magnitud si una es diez veces mayor que la otra; en 2 órdenes de magnitud cuando es cien veces mayor; en 3 órdenes, mil veces mayor, etc.

    Tabla 3. Órdenes de magnitud de valores de longitud en la naturaleza.

    Tabla 4. Órdenes de magnitud de valores de masa en la naturaleza.

    La simple visión de los órdenes de magnitud permite hacerse una idea de la importancia de unas cantidades respecto a otras. En la tabla 3 y en la tabla 4 se resumen valores significativos de longitud y masa en la naturaleza expuestos según una escala de órdenes de magnitud.