Primer Ciclo - Nivel Primario

OPERACIONES COMBINADAS

A menudo, en matemáticas es necesario hacer operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

Parece complicado pero no lo es. Basta con ser ordenado a la hora de operar.

Pero antes de continuar, vamos a repasar cuáles son las propiedades de la suma y la multiplicación.

Propiedades de la suma y la multiplicación.

Imagina que tienes que sumar 3 manzanas y 2 manzanas.

Pero también resulta que podríamos sumar 2 manzanas y 3 manzanas, si invertimos los montones.

Esta es la propiedad conmutativa de la suma.

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA:

Al cambiar el orden de los sumandos no cambia el resultado de la suma.

Recuerda ahora cómo se hacía la suma de 3 sumandos:

¿Qué sucedería si hubiéramos empezado por sumar los patitos del centro con los de la derecha?

El resultado de la suma es exactamente el mismo.

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA:

Al sumar tres o más sumandos, la forma en que se agrupen los sumandos dos a dos no cambia el resultado de la suma.

Estas dos propiedades se parecen mucho a las que hemos visto ya para la multiplicación.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN:

  • Al cambiar el orden de los factores de una multiplicación no cambia el producto (propiedad conmutativa).

  • Al multiplicar tres o más factores, la forma en que se agrupen los factores dos a dos no cambia el producto (propiedad asociativa).

Propiedad distributiva de la suma y la multiplicación

Observa el siguiente dibujo de una pared con ladrillos pintados de naranja y otros de azul:

¿Cuántos ladrillos hay en total en la pared?

El cálculo puede hacerse de dos maneras.

Primera manera:

Paso 1

Calculamos la cantidad de ladrillos naranjas: 5 columnas por 4 filas

5 x 4 = 20 ladrillos naranjas

Paso 2

Calculamos la cantidad de ladrillos azules: 3 columnas por cuatro filas

3 x 4 = 12 ladrillos azules

Paso 3

Sumamos los ladrillos naranjas más los ladrillos azules.

20 + 12 = 32 ladrillos

Si lo escribimos de forma matemática, lo que hemos hecho es:

5 x 4 + 3 x 4 = 32

Segunda manera:

Paso 1

Sumamos la cantidad total de columnas de ladrillos.

5 columnas + 3 columnas = 8 columnas de ladrillos

Paso 2

Multiplicamos el número de columnas por el número de filas de ladrillos.

8 columnas x 4 filas = 32 ladrillos

Si lo escribimos ahora de forma matemática, lo que hemos hecho es:

(5 + 3) x 4 = 32

De las dos maneras hemos obtenido el mismo resultado:

(5 + 3) x 4 = 5 x 4 + 3 x 4

Esta es la propiedad distributiva de la suma y la multiplicación.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de ese mismo número por cada uno de los sumandos.

De forma parecida puede demostrarse la PROPIEDAD DISTRIBUTUVA DE LA RESTA: El producto de un número por una resta es igual al producto del número por el sustraendo menos el producto del número por el minuendo.

Por ejemplo:

(5 – 3) x 4 = 5 x 4 – 3 x 4

El resultado de esta operación, según cualquiera de las dos maneras realizadas, es siempre 8.

El orden de las operaciones

Cuando en una operación matemática aparecen sumas y restas, estas se pueden hacer en el orden en que se quiera.

Por ejemplo:

5 + 3 + 2

se puede calcular sumando primero 5 + 3 y sumando 2 al resultado. Pero también puede sumarse primero 3 + 2 y después sumar el 5. En cualquier caso, el resultado será 10.

Sin embargo, si en una operación matemática aparece un producto, este tiene prioridad y hay que hacerlo primero.

Por ejemplo, en:

5 x 3 + 2

hay que calcular primero el producto, 5 x 3, y después sumar el 2. El resultado es 17.

En este caso no se debe sumar primero 3 + 2 y después multiplicar por 5. Si lo haces, verás que sale 25, que es un resultado diferente y que estaría mal.

Lo mismo sucede con las divisiones.

Para hacer la operación:

9 : 3 + 5

hay que calcular primero la división, 9 : 3, y después sumar el 5. El resultado es 8.

Uso de paréntesis

Fíjate en la diferencia que existe en la escritura de estas dos operaciones matemáticas:

5 x 3 + 2

5 x (3 + 2)

En el primer caso, como no hay paréntesis, el producto tiene prioridad sobre la suma. Primero ha de multiplicarse 5 x 3 y después sumar 2 al resultado del producto.

5 x 3 + 2 = 15 + 2 = 17

Sin embargo, en el segundo caso se ha escrito un paréntesis para decir que hay que hacer primero la operación incluida entre paréntesis. Por tanto, en ella hay que sumar primero 3 + 2 y multiplicar por 5 el resultado de la suma.

5 x (3 + 2) = 5 x (5) = 5 x 5 = 25

Como puedes comprobar, el resultado es muy distinto en las dos operaciones.

ATENCIÓN

Cuando en una operación matemática aparece un producto o una división y no hay paréntesis, el producto y la división tienen prioridad sobre las sumas y las restas.

Si se hace al revés, la operación se habrá resuelto incorrectamente.

ATENCIÓN

Cuando en una operación matemática aparecen paréntesis, siempre se ha de hacer primero lo que se indique entre paréntesis.

Repasa

Propiedades de la suma y la multiplicación

  • Al cambiar el orden de los sumandos no cambia el resultado de la suma (propiedad conmutativa de la suma).

  • Al sumar tres o más sumandos, la forma en que se agrupen los sumandos dos a dos no cambia el resultado de la suma (propiedad asociativa de la suma).

  • Al cambiar el orden de los factores de una multiplicación no cambia el producto (propiedad conmutativa de la multiplicación).

  • Al multiplicar tres o más factores, la forma en que se agrupen los factores dos a dos no cambia el producto (propiedad asociativa de la multiplicación).

  • El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de ese mismo número por cada uno de los sumandos (propiedad distributiva).

Operaciones combinadas

  • Cuando en una operación matemática sin paréntesis aparecen productos y divisiones junto a sumas y restas, primero se deben hacer los productos y divisiones, que tienen mayor prioridad. Después se realizarán las sumas y las restas.

  • Cuando en una operación matemática se utilizan paréntesis, se harán primero las operaciones escritas entre paréntesis.

Practica

Observa los cuadros siguientes.

Piensa varias formas para calcular cuántos cuadros hay.

Primero cuéntalos y después aplica la propiedad distributiva. Tendrás así hasta 3 formas de calcular el número.

Recuerda que si lo haces bien, de las tres formas tiene que salirte el mismo resultado.

Puedes fabricarte tus propios mosaicos de cuadrados para practicar con las propiedades de la suma y la multiplicación.