Primer Ciclo - Nivel Primario

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Para resolver ciertos problemas y situaciones, no solo de matemáticas, sino también de la vida cotidiana, hay que entender lo que significa el concepto de múltiplo.

Dado un cierto número, se llama múltiplo del mismo a cualquier otro número obtenido al multiplicar el primero por un número natural.

Por ejemplo, dado el número 4, sus múltiplos son todos aquellos números resultantes de multiplicar 4 por algún número natural:

4 x 1 = 4

4 x 2 = 8

4 x 3 = 12

4 x 4 = 16

4 x 5 = 20

.....

Por tanto, los números 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, etc., son múltiplos de 4.

¿Sabrías decir cuáles son los múltiplos del número 7?

Basta con ir multiplicando 7 por los números naturales: 7, 14, 21, 28, 35, 42, etc.

El concepto de múltiplo tiene aplicación en cuestiones muy sencillas.

Imagina que vas a la compra a por yogures, y que cada paquete de yogures contiene 6 unidades que no pueden venderse sueltas.

Es decir, hay que adquirir los yogures de 6 en 6.

¿Cuántos yogures podrás comprar?

La respuesta es: 6 (1 paquete), 12 (2 paquetes), 18 (3 paquetes), y así sucesivamente. Siempre múltiplos de 6.

Lo mismo sucede cuando se van a comprar huevos.

Normalmente, los huevos no se compran sueltos, sino en grupos, a menudo de una docena (12 huevos).

Por tanto, al comprar huevos por docenas siempre se compran en múltiplos de 12: una docena (12), dos docenas (24), tres docenas (36), etc.

ATENCIÓN

Recuerda

Los números naturales son los que sirven para contar: 1, 2, 3, 4, 5, etc.

El mínimo común múltiplo de dos números

Dados dos números, se llama mínimo común múltiplo de los mismos al menor número que es múltiplo de ambos y distinto de cero.

ATENCIÓN

Al calcular el mínimo común múltiplo de dos números siempre se descarta el 0, porque aunque es un múltiplo común no aporta nada a la hora de resolver problemas.

Por ejemplo, piensa en los números 4 y 5.

¿Cuál sería el mínimo común múltiplo de los dos?

Lo vamos a calcular con un procedimiento por pasos:

Paso 1. Escribimos los múltiplos del primer número.

En este caso, los múltiplos de 4 son:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...

Paso 2. Escribimos los múltiplos del segundo número.

En el ejemplo, los múltiplos de 5 son:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, ...

Paso 3. Buscamos los números que sean a la vez múltiplos del primer y el segundo número.

En este caso, hemos de buscar en la lista los números que coincidan como múltiplos de 4 y de 5. Vemos que en la lista hay dos números que aparecen en las dos listas, el 20 y el 40:

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44,...

Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 35, 50, 55,...

El menor de estos múltiplos comunes (20 y 40) es el 20.

Luego el mínimo común múltiplode 4 y 5 es 20.

Matemáticamente, se escribe como:

m.c.m. (4, 5) = 20

Observa

El 0 es un múltiplo de todos los números, porque

cualquier número multiplicado por 0 es 0.

Además, dado un cierto número, este número siempre es múltiplo de sí mismo.

Repasa

MINIMO COMÚN MÚLTIPLO

  • Dado un cierto número, se llama múltiplo del mismo a cualquier otro número obtenido al multiplicar el primero por un número natural.

8 x 7 = 56

El 56 es múltiplo de 8 y de 7

  • Dados dos o más números, se llama mínimo común múltiplo de los mismos al menor número que es múltiplo de ambos y distinto de cero.

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36,…

El 4 y el 6 tienen múltiplos comunes: el 12 y el 24.

El mínimo común múltiplo de ambos es 12, porque es el menor.

  • La abreviatura de mínimo común múltiplo es m.c.m.

Practica

Los números primos

En el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números es interesante conocer cuáles son los números primos.

Se llama número primo a aquel que solo puede dividirse entre sí mismo y entre 1 (por tanto no se puede descomponer en factores).

Por ejemplo, 5 es un número primo: sólo puede dividirse entre 1 y entre 5. Sin embargo, 4 no es un número primo, porque puede dividirse entre 4 y entre 1, pero además es divisible por 2 (4 : 2 = 2).

Son números primos todos los siguientes:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,...

Los números intermedios que no figuran en la lista anterior no son primos; se llaman números compuestos (se pueden descomponer en factores).

Son compuestos, por ejemplo, el 4 (se puede descomponer en 2x2); el 6 (se puede descomponer en 2x3 y en 3x2) o el 21 (se puede descomponer en 3x7 y en 7x3).

Atención:

Por convenio, el número 1 no se considera primo ni compuesto.

A este respecto conviene que recuerdes que:

  1. Los números pares no son primos, excepto el 2. Cualquier número par distinto de 2 puede descomponerse en otro más sencillo si se divide por 2.

  2. Los números que acaban en 5 o en 0 (salvo el 0 y el 5) son compuestos, ya que en todos los casos al menos uno de sus factores será el 5. (45= 9x5; 125 = 25x5; 85= 17x5…)

  3. Los números para los cuales la suma de sus cifras es 3, 6 o 9 son siempre múltiplos de 3, luego no son primos (salvo el 3).

Echa un vistazo a la siguiente lista de números primos para familiarizarte con ellos y poder resolver con más facilidad los problemas de cálculo de mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

Intenta aprenderte al menos los números de la primera fila de la lista, para tener mayor agilidad en la resolución de estos problemas.

Lista de números primos menores que 1.000