Primer Ciclo - Nivel Primario

OPERACIONES CON FRACCIONES

Las fracciones representan números, de igual manera que lo hacen los números naturales. Los números representados por las fracciones se denominan fraccionarios.

Los números fraccionarios pueden manejarse de la misma forma que los naturales que usamos habitualmente para contar. Es decir, con los números fraccionarios pueden hacerse sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. También se pueden combinar en estas operaciones con los números naturales.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división con números fraccionarios siguen las normas de los números naturales.

Además, se cumplen las mismas propiedades de la suma y la multiplicación:

  • La suma y la multiplicación de números fraccionarios cumplen las propiedades conmutativa y asociativa.

  • La multiplicación también satisface la propiedad distributiva con respecto a la suma:

En las operaciones combinadas con números fraccionarios son válidas las mismas reglas de prioridad (sumas, restas, productos, divisiones) y de uso de paréntesis que en las operaciones con números naturales.

Aunque las operaciones y las propiedades con fracciones, o números fraccionarios, siguen las mismas reglas que las realizadas con números naturales, hay que aprender algunas técnicas nuevas para hacerlas con soltura y eficacia. A continuación aprenderemos esas técnicas.

Suma y resta de fracciones con igual denominador

Sumar y restar fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencillo. Basta con sumar o restar, según el caso, los numeradores y dejar el mismo denominador.

Si lo escribimos en forma simbólica, supongamos que tenemos dos fracciones con el mismo denominador:

Entonces, la suma entre ambas se escribe como:

La resta entre estas dos mismas fracciones sería:

Veamos varios ejemplos de sumas y restas de fracciones con igual denominador:

Suma y resta de fracciones con distinto denominador

La suma y resta de fracciones se complica cuando tienen distinto denominador.

En tal caso, la solución consiste en transformar las fracciones originales en otras fracciones equivalentes de manera que todas ellas tengan un mismo denominador.

Para calcular las fracciones equivalentes se utiliza el método del mínimo común múltiplo. Veámoslo por pasos.

Supón que queremos sumar las fracciones:

Paso 1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.

En el ejemplo, el mínimo común múltiplo de 6 y 8 es 24. Puedes comprobar que la descomposición en factores de estos dos números es:

6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36…

8 = 8, 16, 24, 32, 40…

El mínimo común múltiplo es el múltiplo menor que tienen ambos números en común. Es decir:

m.c.m. = 24

Paso 2. Cambiamos las fracciones originales por otras equivalentes de la siguiente forma:

  • Dividimos el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción.

  • Multiplicamos el numerador y el denominador por el cociente que hayamos obtenido en las divisiones anteriores.

En la fracción dividimos el mínimo común múltiplo (24) por el denominador (6). El cociente da 4. Multiplicamos entonces 4 por el numerador y por el denominador, es decir:

Repetimos la operación en la fracción . Dividimos el mínimo común múltiplo (24) por el denominador (8). El cociente da 3. Multiplicamos 3 por el numerador y el denominador:

Paso 3. Hacemos la suma sustituyendo las fracciones originales por las equivalentes, que tienen ya el mismo denominador:

En resumen, para sumar o restar fracciones con distinto numerador, hay que sustituir dichas fracciones por otras equivalentes de manera que todas tengan el mismo denominador:

  • Primero se calcula el mínimo común múltiplo de todos los denominadores.

  • Se sustituyen las fracciones por otras equivalentes que tengan como denominador el mínimo común múltiplo recién calculado.

  • Se suman y restan, según corresponda, los numeradores, porque todas las fracciones tienen ya el mismo denominador.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones es una operación muy sencilla:

Imagina que tienes dos fracciones, que se expresan simbólicamente como:

Al multiplicar entre estas dos fracciones se obtiene una nueva fracción tal que:

  • El numerador es igual al producto de los numeradores.

  • El denominador es igual al producto de los denominadores.

Es decir:

Veamos algunos ejemplos:

División de fracciones

Piensa de nuevo en las dos fracciones que se expresan simbólicamente como:

Al dividir dos fracciones se obtiene una nueva fracción tal que:

  • El nuevo numerador resulta de multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.

  • El nuevo denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción.

Es decir:

Recuerda que la división es la operación inversa de la multiplicación. Por tanto, dividir una fracción entre otra equivale a multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.

Veamos algunos ejemplos de división de fracciones:

ATENCIÓN

Recuerda

Repasa

OPERACIONES CON FRACCIONES

Suma y resta

  • Con igual denominador: se suman (o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador.

  • Con distinto numerador: hay que sustituir dichas fracciones por otras equivalentes de manera que todas tengan el mismo denominador:

  • Se calcula el mínimo común múltiplo de todos los denominadores.

  • Se sustituyen las fracciones por otras equivalentes que tengan como denominador el mínimo común múltiplo recién calculado.

  • Se suman o restan.

Multiplicación

  • Se multiplican los numeradores y se parte por el producto de los denominadores.

División

  • Numerador nuevo: producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.

  • Denominador nuevo: producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción.

Las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división para números fraccionarios son las mismas que para los números naturales.

En las operaciones combinadas con números fraccionarios son válidas las mismas reglas de prioridad (sumas, restas, productos, divisiones) y de uso de paréntesis que en las operaciones con números naturales.

Practica

Aprende a simplificar

Muchas fracciones forman parte de una misma familia.

Por ejemplo:

y podríamos seguir indefinidamente.

De forma intuitiva, comprendemos que da lo mismo tomar 1 parte de 2 posibles que 2 partes de 4 o 3 partes de 6. En cualquier caso, nos llevaremos la mitad de la unidad.

Dada una fracción cualquiera, siempre podemos calcular alguna equivalente a ella si multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo número. También obtendremos fracciones equivalentes si dividimos el numerador y el denominador por un mismo número (cuando es posible, claro).

Por ejemplo:

ya que hemos dividido el numerador y el denominador de por 5.

Según lo anterior, a veces tenemos una fracción complicada que podemos transformar en otra fracción equivalente más sencilla. Se dice entonces que simplificamos la fracción.

En el ejemplo anterior, vemos que la fracción es más sencilla que su equivalente . Es decir, está “simplificada”.

Puedes probar a calcular fracciones equivalentes y a obtener las fracciones simplificadas que equivalen a otras más complejas.

Si dominas esta técnica, las operaciones con fracciones te resultarán mucho más sencillas.

ATENCIÓN

Recuerda siempre que para que una fracción se pueda simplificar es necesario que el numerador y el denominador tengan algún divisor común.