Matemáticas

Ideado en su forma arquetípica por el matemático indio Narendra Karmakar, el algoritmo que lleva su nombre ofrece un procedimiento para la resolución de problemas de programación lineal. Cuando en estos problemas se maneja multitud de variables y condiciones de restricción, es común recurrir al auxilio de computadoras para su resolución. El método simplex, ideado por el estadounidense George Dantzig, supuso la aparición de un algoritmo que sirvió de base a un programa informático, gracias al cual se redujo de forma considerable el tiempo de resolución de los problemas. No obstante sus ventajas, el método simplex es de naturaleza exponencial, lo que implica que el tiempo de trabajo que precisa crece exponencialmente, según el tamaño del problema que se ha de resolver. Por ello, muchos matemáticos acometieron la tarea de diseñar algoritmos de tipo polinómico que manejarían un crecimiento del tiempo de resolución potencial, mucho más asequible que el exponencial. Un primer intento en...

En el plano, e igualmente, en el espacio, un punto puede estar referido a diferentes sistemas. Si se consideran los cartesianos, sus coordenadas (que son las distancias a los ejes OX y OY) serán diferentes, según la posición que ocupen. X’. Y Y’ P. b b’ a’. O’. O X. a. Por ejemplo, como se ve en la figura, el punto P con respecto al sistema XOY es P(a, b), mientras que, respecto a X’O’Y’ es P(a’, b’). El problema del cambio de sistema de referencia aborda la cuestión de, dadas las coordenadas de un punto en un determinado sistema de referencia, hallar las coordenadas de ese mismo punto con respecto a otro sistema distinto. Evidentemente, si las coordenadas de un punto cambian según el sistema de referencia que se considere, otro tanto sucede con las ecuaciones de las líneas, también distintas, según el sistema de coordenadas a que se refieran. Ello no quiere decir, sin embargo, que sus propiedades varíen con el cambio de sistema. Se considerarán los siguientes casos de...

Se denominan ceros de una función los valores de la variable independiente para los que se anula dicha función. Para hallar los ceros de una función, basta con hacer en ella y = 0 y resolver la ecuación resultante. Análogamente, reciben el nombre de polos de una función los valores finitos de la variable para los que la función se hace infinita. En consecuencia:. Las funciones enteras, también llamadas polinómicas, no tienen polos. En las funciones racionales, los polos serán los valores de la variable que anulen al denominador de dicha función. En las funciones trascendentes, los polos se calculan teniendo en cuenta los valores que pueden tomar éstas. Finalmente, hay que añadir que la existencia de ceros y/o polos no es obligada, ya que:. Una función puede tener ceros y no tener polos. Una función puede tener polos y no presentar ceros. Una función puede tener polos y ceros. Una función puede no tener ni polos ni ceros. Problema 1. Hallar los polos y ceros de la función:....

La circunferencia es una línea cuyos puntos equidistan de uno interior, centro, una magnitud constante, llamada radio. . P(x,y). Por tanto, si se considera una circunferencia de centro C(a, b) y radio r, su ecuación será:. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (1). A veces, la ecuación (1) se da desarrollada, en la forma:. x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 (2). En tal caso, la determinación del centro y el radio es inmediata, teniendo en cuenta que:. abscisa del centro = xc = (3). ordenada del centro = yc = (4). a2 + b2 – r2 = Término independiente (5). En general, para que una ecuación represente una circunferencia, debe suceder que:. Sea de segundo grado en x y en y. Los coeficientes de x2 e y2 deben ser iguales. Debe carecer de término en x · y. Problema 1. Hallar el centro y el radio de la circunferencia:. x2 + y2 – 6x + 8y = 0. Solución. Aplicando (3), (4) y (5):. xc = 3. Además:. 32 + (-4)2 – r2 = 0 r = 5. Por consiguiente, la ecuación dada representa una...

Cálculo de integrales definidas. No sería aventurado afirmar que el cálculo de integrales definidas se enmarca en el mismo afán de medición de superficies que inspiró el nacimiento de la geometría en los generosos campos del antiguo Egipto o del Creciente Fértil, en el actual Irak. En aquellos tiempos lejanos, se utilizaron procedimientos para dividir las tierras de cultivo, por medio de aproximaciones a modo de rectángulos, triángulos y otros diseños poligonales que permitían parcelar las propiedades. El encomiado esfuerzo de abstracción de los geómetras griegos, que dieron a esta actividad su condición de ciencia matemática, se vio reflejado, como en un espejo de la historia, en el siglo XVII con la invención del cálculo infinitesimal e integral. Nuevamente, el interés primigenio que alentaba algunas de estas investigaciones era encontrar métodos de medición de las áreas subtendidas bajo las líneas y las superficies curvas. Ello condujo al desarrollo de técnicas de integración...

Una función puede venir expresada en forma explícita, es decir, como y = f(x). También puede expresarse en forma implícita, con la función y sin despejar, del modo siguiente:. f(x,y) = 0. Para el primer caso existe una tabla de derivadas cuya aplicación permite la derivación de cada función. En el segundo, se podría intentar despejar la función y, para obtener el el caso anterior, pero esta operación no siempre es sencilla. Por ello, es conveniente tener en cuenta la siguiente regla: para derivar una función implícita, se la deriva término a término de acuerdo con las reglas generales de la derivación, pero multiplicando la derivada de los términos que presenten la variable dependiente y por su derivada, y’. El concepto de derivación implícita puede extenderse a la idea de derivadas sucesivas. Problema 1. Hallar la derivada de la función:. x3y + xy2 – 5x + 4y = 0. Solución. Aplicando la regla dada:. 3x2y + x3y’ + y2 + 2xyy’ – 5 + 4y’ = 0. Operando:. x3y’ + 2xyy’ + 4y’ = 5 –...

Se llama derivada logarítmica de una función a la derivada del logaritmo neperiano de dicha función. Por tanto, si se considera la función y = f(x), su derivada logarítmica es la derivada de la función:. y = L f(x) (1). Se procede ahora a derivar en (1) teniendo en cuenta que y es función de función, ya que en su expresión aparece la función logaritmo neperiano y la función f(x). Teniendo en cuenta la tabla de derivadas:. y’ = f’(x). Luego:. y’ =. De ello se concluye que la derivada logarítmica de una función es igual a la derivada de dicha función dividida por la propia función. Una aplicación notable de la derivada logarítmica es el hallazgo de la derivada de la función potencial exponencial. Una función potencial, por ejemplo y = xn, es la que tiene su variable independiente en la base de la potencia, mientras que una función exponencial, por ejemplo y = ax, es la que presenta la variable en el exponente. Se denomina función potencial exponencial la función que presenta...

Una función puede venir expresada en forma explícita, es decir, como y = f(x). También puede expresarse en forma implícita, con la función y sin despejar, del modo siguiente:. f(x,y) = 0. Para el primer caso existe una tabla de derivadas cuya aplicación permite la derivación de cada función. En el segundo, se podría intentar despejar la función y, para obtener el el caso anterior, pero esta operación no siempre es sencilla. Por ello, es conveniente tener en cuenta la siguiente regla: para derivar una función implícita, se la deriva término a término de acuerdo con las reglas generales de la derivación, pero multiplicando la derivada de los términos que presenten la variable dependiente y por su derivada, y’. El concepto de derivación implícita puede extenderse a la idea de derivadas sucesivas. Problema 1. Hallar la derivada de la función:. x3y + xy2 – 5x + 4y = 0. Solución. Aplicando la regla dada:. 3x2y + x3y’ + y2 + 2xyy’ – 5 + 4y’ = 0. Operando:. x3y’ + 2xyy’ + 4y’ = 5 –...

Derivada de una función. El reconocimiento de la invención del cálculo diferencial, del que la idea de derivada forma parte sustancial, fue motivo de una enconada disputa entre dos de las mentes más privilegiadas de la Edad Moderna: el inglés Isaac Newton y el alemán Gottfried von Leibniz. Basándose en los trabajos previos de René Descartes, Christiaan Huygens y otros pensadores y científicos, ambos diseñaron, por separado, los rudimentos de lo que iba a constituirse en una de las herramientas matemáticas más poderosas de la ciencia. La historia ha valorado por igual los méritos de los dos rivales, atribuyendo a ambos la invención del cálculo diferencial y considerando sus desarrollos como mutuamente complementarios. Con ello, vino a hacerse justicia en este aspecto al genio de Leibniz, puesto que el de Newton fue ya reconocido indiscutidamente en su tiempo. En la cima de su fama, Newton era presidente de la Royal Society de Londres cuando la polémica sobre la autoría del cálculo...

Dada una función y = f(x) y, considerado un punto de abscisa x = a de su dominio, se dice que es derivable por la izquierda, si existe el límite:. Análogamente, se dice que y = f(x) es derivable por la derecha en el punto de abscisa x = a, perteneciente a su dominio, cuando existe el límite:. Si una función es derivable por la derecha y por la izquierda en el punto x = a y, además:. f’(a-) = f’(a+). entonces, se dice que es derivable en x = a. Debe tenerse en cuenta que toda función derivable en un punto es continua en dicho punto, lo que significa que:. Si una función es derivable por la derecha en x = a, es continua por la derecha en dicho punto. Si una función es derivable por la izquierda en x = a, es continua por la izquierda en dicho punto. Si una función es derivable en x = a, es derivable por la izquierda y por la derecha en x = a. Los recíprocos, sin embargo, no son ciertos, ya que la continuidad de y = f(x) no garantiza su derivabilidad. Como ejemplo clásico puede...

Un problema de gran importancia en análisis matemático es el de la aproximación local de una función, cuestión de la que vamos a dar una idea. A veces, se precisa conocer la variación de una función en un intervalo, lo que, frecuentemente, no resulta sencillo. Para solventar esta dificultad, se suele recurrir a otra función que sea bien conocida y que se aproxime lo más posible a la considerada en el entorno de un cierto punto. Lógicamente, esa aproximación debe ser notable para no cometer errores importantes. En general, dadas f(x) y g(x), definidas ambas en un intervalo [a, b], se dice que la segunda es una aproximación local de orden n a la primera, en un punto x = c, perteneciente al mencionado intervalo, cuando:. La aproximación local utilizando funciones polinómicas (por otra parte, las más sencillas) puede hacerse mediante los polinomios de Taylor. Si se considera una función f(x), definida en un intervalo (a, b), derivable n – 1 veces en dicho intervalo, y con derivada...

Una recta, cuya ecuación es siempre lineal, es decir, de primer grado en x y en y, puede expresarse de diversas formas, que se analizarán a continuación. Forma explícita. En ella, la variable y está despejada. Se escribe como:. y = mx + n. siendo m el coeficiente angular o pendiente y n la ordenada en el origen. Forma implícita. Todos los términos de la ecuación aparecen en el mismo miembro. ax + by + c = 0. Para pasar de esta forma a la anterior, basta con despejar y. Determinada por dos puntos. La recta que pasa por A(x1, y1) y B(x2, y2) es:. y – y1 =. Forma punto-pendiente. La recta viene dada por un punto de la misma, A(x1, y1), y su pendiente, m. y – y1 = m (x – x1). Forma canónica. Siendo a y b los segmentos que la recta determina, respectivamente, sobre los ejes OX y OY, su ecuación puede expresarse como:. Forma normal. También llamada hessiana, es:. x cos w + y sen w – p = 0. p es el llamado perpendículo (segmento de perpendicular trazada desde el origen a la...

Estudio analítico de funciones. La representación gráfica de las funciones aporta una valiosa información acerca de sus propiedades, tendencias y comportamiento. Lejos de constituir un adorno teórico, apto predominantemente para matemáticos expertos, el estudio analítico de las funciones, que desemboca en representaciones visuales de la curva que describe su gráfica, presenta un amplio abanico de utilidades prácticas. El estudio analítico de las funciones obliga a determinar el dominio y el recorrido de la función, sus puntos de continuidad y discontinuidad, sus tendencias de crecimiento y decrecimiento, en su caso de tipo asintótico, sus cortes con los ejes y la presencia de máximos, mínimos y puntos de inflexión. Criterios para el estudio de funciones. El estudio analítico de funciones constituye un ejercicio sistemático de comprensión del significado, la forma y las propiedades de una función. Por lo común, se realiza siguiendo un orden determinado que desembocará finalmente...

Se dice que una función está expresada en forma explícita cuando en su ecuación la variable dependiente o función está despejada. Es decir, cuando adopta la forma:. y = f(x). En caso contrario, si en su ecuación la variable dependiente no está despejada, se dirá que la función se halla en forma implícita. Por ejemplo,la función y = 5x3 – 4x2 + 1 está en forma explícita, mientras que la función 3x2y – 5xy2 – x2 + y3 – 1 = 0 se encuentra en forma implícita. Para pasar una función de forma explícita a implícita, basta con pasar todos los términos de su ecuación a un solo miembro. Esta transformación siempre es posible. Ejemplo. Pasar a forma implícita la función:. y =. Quitando denominadores:. y · (x3 – 1) = x2 – 5x + 2. Operando:. x3y – y = x2 – 5x + 2. Pasando todo al primer miembro:. x3y – x2 + 5x – y – 2 = 0. que sería la función dada, pero en forma implícita. Para pasar de forma implícita a explícita, basta con despejar la función y en la primera. Ejemplo. Pasar a...

Funciones reales de variable real. La idea esencial de funcionalidad en los cálculos matemáticos, es decir, de búsqueda de las relaciones sistemáticas que existen entre las cantidades numéricas, es una de las más antiguas en la historia de la ciencia. Hoy en día se tiende a asociar el concepto de función con el de la fórmula que lo expresa. Sin embargo, en su fundamento, las funciones son abstracciones matemáticas que pretenden resumir, en un lenguaje condensado, las relaciones generales que asocian los elementos de un conjunto de números dado con los datos de otro conjunto. De este modo, los historiadores de las matemáticas han señalado que los orígenes de la noción de función bien podrían remontarse como mínimo a tiempos de los antiguos babilonios. Éstos expresaban las funciones por medio de tablas y de correspondencias. Otros expertos, empero, han optado por asignar el descubrimiento de este concepto a matemáticos posteriores, que lo asociaron a la idea de dependencia entre...

Funciones. Conceptos y definiciones. De Jean-Baptiste Fourier se dice que era un hombre obsesionado por el calor. A este aristócrata, residente en Ginebra durante buena parte de su vida, a caballo entre los siglos XVIII y XIX, cabe atribuir algunas de las investigaciones más sobresalientes de su tiempo en el campo de las funciones matemáticas. También fue inventor de las llamadas transformadas de Fourier, uno de los artilugios matemáticos de mayor utilidad en numerosos ámbitos de la física, la técnica y la ingeniería. Fourier acompañó a Napoleón Bonaparte en sus campañas de Egipto en 1798. Según sus biógrafos, le movió a ello su pasión por la arqueología, la cual le hizo completar un exhaustivo estudio y catalogación de los vestigios arquitectónicos y escultóricos del antiguo Egipto. Otros estudiosos sugieren una motivación suplementaria: su amor por los ambientes cálidos, como la temperatura de su casa ginebrina, caldeada con estufas, un suplicio insoportable para sus abrumados...

En el lenguaje cotidiano, el término función se asocia con la idea de dependencia. Así, es corriente decir que los gastos de una familia se dan en función de los ingresos, con lo cual se desea expresar que la cuantía de aquéllos depende de la de éstos. En un sentido más científico, la idea de función, aunque no con este nombre, se introdujo para expresar gráficamente la idea de cambio. Tal sucedió por vez primera en el estudio de los movimientos, con su plasmación en la representación gráfico-geométrica concebida por Nicolás Oresme en el siglo XIV. Esta representación, falta del apoyo de los números reales, empleaba segmentos para indicar las relaciones existentes entre dos variables. En el siglo XVI, Galileo perfeccionó la idea anterior asignando a las variables ligadas valores numéricos. Ello le permitió definir relaciones de proporcionalidad, muy importantes en el campo de la Cinética. Sin embargo, donde el concepto de función apareció con un sentido próximo al actual fue en...

Función exponencial. La función exponencial es aquella que tiene la variable independiente en el exponente de una expresión matemática. Se denota genéricamente como:. y = ax. Para su estudio analítico se considerarán dos casos: a > 1 y 1> a > 0. Caso a > 1. En este caso, para todo valor de x existe valor de y, luego el dominio de la función es todo el eje real. Es decir:. Su patrón de crecimiento se obtendrá del estudio de su derivada, que es:. y’ = ax · La. Si a > 1, entonces La > 0, luego:. y’ > 0. y la función será creciente. La intersección con el eje OY de la gráfica de la función se logrará haciendo x = 0, lo que conduce a:. x = 0 y = a0 y = 1. Luego, la gráfica corta a OY en el punto (0, 1). La intersección con OX se logrará haciendo y = 0:. x = 0 ax = 0 x = -. lo que significa que la gráfica tiene a OX como asíntota. Además, la función es continua. Caso 1 > a > 0. Al igual que antes, el dominio de la función es todo el eje real, es decir:. La intersección...

La indeterminación aparece al hallar el siguiente límite:. en el caso de que: f(x) = ; g(x) = 0. Para resolver esta indeterminación se aplica la siguiente regla:. Se supone conocido el valor del límite y se designa, por ejemplo, por A, con lo que se establece una igualdad. Se toman logaritmos neperianos en los dos miembros de la igualdad anterior, con lo que la indeterminación dada, , se convierte en 0 · . Multiplicando el primer factor por el inverso del segundo, se logra convertir la indeterminación 0 · en la . Se resuelve la indeterminación ahora planteada, mediante la aplicación de la regla de L’Hôpital, la cual afirma que cuando al hallar el límite de un cociente se plantee la indeterminación o , ambas pueden resolverse en cuenta que el límite dado es igual al límite de la derivada del numerador dividido por la derivada del denominador. De esta manera, se halla el logaritmo neperiano de A. Despejando A, se obtiene el límite deseado. Es decir, si:. designando por A a:. ...

La indeterminación 00 se plantea al hallar el límite siguiente:. cuando:. . Seguidamente se expone el método para resolver esta indeterminación. Llamando A al resultado del límite:. Tomando logaritmos neperianos en esta igualdad:. Esta indeterminación puede escribirse en la forma:. (1). A su vez, esta nueva indeterminación puede ser resuelta por aplicación de la regla de L`Hôpital, que dice que cuando al hallar el límite de un cociente se obtenga la indeterminación o , ese límite es igual al límite de la derivada del numerador dividido por la derivada del denominador). De esta manera, si el límite es de valor k, de (1), se tendría que:. L A = k A = ek. lo que permite hallar A y, en consecuencia, el límite buscado. En resumen, para resolver esta indeterminación se aplica la siguiente regla:. Se supone conocido el valor del límite, designándole, por ejemplo por A, con lo que se establece una igualdad. Se toma en los dos miembros de la igualdad anterior logaritmos...